Exercice 443

Calculs de dérivées d'après BAC

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Calculs de dérivées données dans des exercices de BAC

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Les fonctions ci-dessous sont extraites de problèmes donnés au BAC.
Dans chaque cas, calculer $f'(x)$ sur $D$
  1. $f(x)=\dfrac{3ln(x)}{2x^2}$ sur $D=]0;+\infty[$

    $f$ est constituée de deux termes $x$ d'une part et $\dfrac{3ln(x)}{2x^2}$ d'autre part
    On pose $u(x)=3ln(x)$ et $v(x)=2x^2$
    On pose $u(x)=3ln(x)$ et $v(x)=2x^2$
    et on a $u'(x)=3\times \dfrac{1}{x}=\dfrac{3}{x}$ et $v'(x)=2\times 2x=4x$

    $f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$

    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{\dfrac{3}{x} \times 2x^2-3ln(x)\times 4x}{(2x^2)^2}$

    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{\dfrac{6x^2}{x}-12xln(x)}{(2x^2)^2}$

    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{6x-12xln(x)}{4x^4}$

    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{6x(1-2ln(x))}{4x^4}$ (on factorise le numérateur par $6x$)

    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{2x\times 3(1-2ln(x))}{2x\times 2x^3}$ (pour simplifier, il faut avoir le même facteur au numérateur et au dénominateur)

    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{3(1-2ln(x))}{2x^3}$

    $f'(x)=\dfrac{3(1-2ln(x))}{2x^3}$
  2. $f(x)=x^2(3-ln(x))$ sur $D=]0;+\infty[$
    On pose $u(x)=x^2$ et $v(x)=3-ln(x)$
  3. $f(x)=(2-ln(x))ln(x)$ sur $D=]0;+\infty[$
    On pose $u(x)=2-ln(x)$ et $v(x)=ln(x)$
  4. $f(x)=\dfrac{1}{ln(x)}$ sur $D=]1;+\infty[$
    On pose $v(x)=ln(x)$


 
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