Exercice 444

Calculs de dérivées et étude des variations

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Calculs de dérivées de fonctions avec ln
Signe de la dérivée et étude des variations

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On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $]0;+\infty[$.
Dans chaque cas, calculer la dérivée $f'$ de $f$ et dresser le tableau de variation de $f$.
  1. $f(x)=2x^4+3ln(x)$
    $x>0$ donc $x^3>0$ et $\dfrac{1}{x}>0$
    $f'(x)=2\times 4x^3+3 \times \dfrac{1}{x}=8x^3+\dfrac{3}{x}$

    $f'(x)=8x^3+\dfrac{3}{x}$


    $f$ est définie et dérivable sur $]0;+\infty[$
    donc $x>0$ et donc $8x^3>0$ et $\dfrac{3}{x}>0$
    donc $f'(x)>0$ sur $]0;+\infty[$

    Tableau de variation de $f$:

    Ne pas oublier la valeur interdite $0$ et donc la double barre dans le tableau
  2. $f(x)=x^2-1-8ln(x)$
    Pour étudier le signe de $f'(x)$, il faut écrire $f'(x)$ avec pour dénominateur $x$.
    $x>0$ donc $f'(x)$ est du signe de son numérateur.
  3. $f(x)=xln(x)$
    On pose $u(x)=x$ et $v(x)=ln(x)$


 
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