Exercice 445

Etude des variations-tangente à la courbe

Contenu

Calcul de la dérivée et étude des variations
Equation réduite de la tangente en un point
Tracé de la courbe et de la tangente

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La fonction $f$ définie et dérivable sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{1}{x}+ln(x)$
On note $C_f$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormé.
  1. Calculer $f~'(x)$ et dresser le tableau de variation de $f$
    Ecrire $f~'(x)$ sous la forme $\dfrac{A(x)}{x}$
    $x>0$ donc $f~'(x)$ est du signe de son numérateur
    ne pas oublier la valeur interdite dans le tableau de variation
    $f~'(x)=\dfrac{-1}{x^2}+\dfrac{1}{x}=\dfrac{-1}{x^2}+\dfrac{x}{x^2}=\dfrac{-1+x}{x^2}$

    $f~'(x)=\dfrac{-1+x}{x^2}$


    $x\in ]0;+\infty[$ et $x^2>0$
    donc $f~'(x)$ est du signe de $-1+x$
    $-1+x>0 \Longleftrightarrow x>1$
    donc $f~'(x)>0$ pour $x>1$
    donc $f~'(x)>0$ sur $]1;+\infty[$

    Tableau de variation de $f$:

    avec $f(1)=\dfrac{1}{1}+ln(1)=1$ (rappel $ln(1)=0$)
    Ne pas oublier la valeur interdite $0$ et donc la double barre dans le tableau

  2. Déterminer l'équation réduite de la tangente T à la courbe $C_f$ au point $A$ de la courbe d'abscisse 2.
    Il faut calculer $f~'(2)$ puis $f(2)$
  3. Tracer $C_f$ et T dans un repère orthonormé d'unité 1cm.
    On peut utiliser la calculatrice pour dresser un tableau de valeurs et placer les points permettant de tracer $C_f$ (MENU TABLE)
    On peut aussi utiliser GEOGEBRA pour tracer $C_f$ et la tangente T
    Avec GEOGEBRA, saisir l'expression de $f$ dans la barre de saisie
    Pour tracer T, utiliser la syntaxe TANGENTE[abscisse du point A,nom de la fonction]


 
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