Exercice 447

Étude de la convexité-lectures graphiques

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Calcul de la dérivée seconde
Signe de la dérivée seconde et convexité de f
Identification de la représentation graphique de f puis de f'

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La fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=5ln(x)-\dfrac{e^x}{12}$
On note $C_f$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthonormé.
  1. Calculer $f~'(x)$ et puis $f~''(x)$
    On a $f(x)=5\times ln(x)-\dfrac{1}{12}\times e^x$
    $f~'(x)=5\times \dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{12}e^x=\dfrac{5}{x}-\dfrac{e^x}{12}$
    $f~''(x)=5\times \dfrac{-1}{x^2}-\dfrac{1}{12}\times e^x=\dfrac{-5}{x^2}-\dfrac{e^x}{12}$

    $f~'(x)=\dfrac{5}{x}-\dfrac{e^x}{12}$ et $f~''(x)=\dfrac{-5}{x^2}-\dfrac{e^x}{12}$

  2. Etudier la convexité de $f$
    Il faut étudier le signe de $f~''(x)$ et on a $x>0$
  3. Parmi les trois courbes tracées ci-dessous, lune seule correspond à la représentation graphique de $f$ et une correspond à la représentation graphique de $f~'$.

    Identifier la représentation graphique de $f$ puis celle de $f~'$.
    Utiliser le résultat de la question 2 pour identifier $C_f$


 
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