Exercice 448

Lectures graphiques-calcul d'une dérivée-étude des variations et de la convexité

Contenu

Lecture graphique du nombre dérivé en un point
Calcul d'une dérivée
Identification des coefficients de la fonction
Etude des variations
Calcul de la dérivée seconde et étude de la convexité

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La fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=ax+bln(x)$ avec $a$ et $b$ réels.
On donne ci-dessous $C_f$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthogonal et T la tangente à la courbe au point $A$ d'abscisse 1.
  1. Déterminer graphiquement $f(1)$ et $f~'(1)$
    Il faut déterminer le coefficient directeur de T.
    Le point $A$ a pour coordonnées $(1;2)$ et appartient à la courbe
    donc $f(1)=2$
    $f~'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente T à la courbe au point $A$ d'abscisse 1 T passe par $A(1;2)$ et par $B(0;4)$
    donc $f~'(1)=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{4-2}{0-1}=-2$

    $f(1)=2$ et $f~'(1)=-2$.

  2. Exprimer $f~'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
    On a $f(x)=ax+b\times ln(x)$
    $f(x)=ax+bln(x)$
    donc $f~'(x)=a+b\times \dfrac{1}{x}=a+\dfrac{b}{x}$

    $f~'(x)=a+\dfrac{b}{x}$.
  3. En utilisant la question 1, déterminer les réels $a$ et $b$.
    On a $f(1)=2$ et il faut exprimer $f(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
    De même on a $f~'(1)=-2$ et il faut exprimer $f~'(1)$ en fonction de $a$ et $b$.
    Rappel: $ln(1)=0$
  4. Déterminer alors les variations de $f$.
    On a obtenu à la question 2., $f~'(x)=a+\dfrac{b}{x}$ avec $a=2$ et $b=-4$
    Il faut étudier le signe de $f~'(x)$ en réduisant au préalable au même dénominateur
    Rappel: $x\in ]0;+\infty[$ donc $x>0$ ....
  5. Calculer $f~''(x)$ et en déduire la convexité de $f$.
    On a $f~'(x)=\dfrac{2x-4}{x}$
    On pose $u(x)=2x-4$ et $v(x)=x$


 
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