Exercice 449

Identification des coefficients de f

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Détermination d'une image et du nombre dérivé en un pointavec l'équation réduite d'une tangente
Calcul d'une dérivée
Identification des coefficients de f

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La fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=ax+b+\dfrac{ln(x)}{x}$ avec $a$ et $b$ réels.
On note $C_f$ la représentation graphique de $f$ dans un repère orthogonal et la tangente T à la courbe au point $A$ d'abscisse 1 a pour équation réduite $y=4x-1$
  1. Déterminer $f(1)$ et $f~'(1)$
    Le point A d'abscisse 1 appartient à T et à la courbe $C_f$
    Il faut déterminer le coefficient directeur de T pour déterminer $f~'(1)$.
    Le point $A$ a et appartient à la courbe et à la tangente T.
    T a pour équation réduite $y=4x-1$ donc $y_A=4x_A-1=4\times 1-1=3$
    donc $f(1)=3$
    $f~'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente T à la courbe au point $A$ d'abscisse 1 T a pour équation réduite $y=4x-1$ donc le coefficient directeur de T est 4
    donc $f~'(1)=4$

    $f(1)=3$ et $f~'(1)=4$.

  2. Exprimer $f~'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
    On pose $u(x)=ln(x)$ et $v(x)=x$
    $f(x)$ est la somme de $ax+b$ et de $\dfrac{ln(x)}{x}$
  3. En utilisant la question 1, déterminer les réels $a$ et $b$.
    On a $f(1)=3$ et il faut exprimer $f(1)$ en fonction de $a$ et $b$.
    De même on a $f~'(1)=4$ et il faut exprimer $f~'(1)$ en fonction de $a$ et $b$.
    Rappel: $ln(1)=0$


 
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