Exercice 491

Lectures graphiques-dentification des coefficients de f (d'après BAC Antilles Juin 2007)

Contenu

Lecture graphique du nombre dérivé en un point
Résolution graphique d'inéquations
Calcul d'une dérivée et identification des coefficients de f
Résolution d'inéquations apr le calcul

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La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous représente une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $I=]0;+\infty[$.
On note $f~'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle $I$. La courbe $\mathcal{C}$ passe par les points $A(1~;~-1)$ et $B\left(\dfrac{1}{e}~;~0\right)$ et admet une tangente parallèle à $(Ox)$ au point $A$.
  1. En utilisant les données ci-dessus, déterminer $f(1)$ et $f~'(1)$.
    Il faut déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 1
    $A(1~;~-1)$ donc $f(1)=-1$.
    $f~'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 1
    et cette tangente est parallèle à l'axe des abscisses donc a pour coefficient directeur 0 donc $f~'(1)=0$

    $f(1)=-1$ et $f~'(1)=0$
  2. En utilisant les données ci-dessus, déterminer les solutions de l'inéquation $f(x)\geq 0$ et les solutions de l'inéquation $f~'(x)\geq 0$.
    Les solutions de l'inéquation $f(x)>k$ sont les abscisses des points de la courbe situés au-dessus de la droite d'équation $y=k$.
    Les solutions de l'inéquation $f(x)\geq 0$ sont les abscisses des points de la courbe situés au-dessus de l'axe des abscisses
    On a $x_B=\dfrac{1}{e}$

    donc $f(x)\geq 0$ pour $x\in ]0;\dfrac{1}{e}[$.


    $f$ est croissante sur $[1;+\infty[$
    donc $f~'(x)\geq 0$ sur $[1;+\infty[$

    $f~'(x)\geq 0$ sur $[1;+\infty[$.
  3. On admet que, pour tout réel $x$ de l'intervalle $I$, $f(x)=\dfrac{a+bln (x)}{x}$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.
    Exprimer $f~'(x)$ en fonction des réels $a$ et $b$.
    On pose $u(x)=a+bln(x)$ et $v(x)=x$
  4. Utiliser les résultats de la question 1a. pour montrer que $a=-1$ et $b=-1$.
    Exprimer $f(1)$ en fonction de $a$ et $b$ et on a $f(1)=-1$
    Exprimer $f~'(1)$ en fonction de $a$ et $b$ et on a $f~'(1)=0$
  5. Retrouver les résultats de la question 1c par le calcul.
    $x >0$ donc $f(x)$ est du signe de son numérateur
    $x>0$ donc $f~'(x)$ est du signe de son numérateur


 
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