Exercice 492

Etude des variations-signe de f(x)-application à un bénéfice (d'après BAC Polynésie Sept 99)

Contenu

Calcul d'une dérivée et étude des variations
Recherche des solutions de l'équation f(x)=0
Etude du signe de f(x)
Application à l'étude d'une bénéfice

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On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0 ~;~+ \infty[$ par $f(x) = -(ln x)^2 + 4ln( x )- 3$.
La courbe $\mathcal{C}$ représentative de $f$ est donnée ci-dessous.

Partie A
  1. $f'$ étant la fonction dérivée de $f$, montrer que $f'(x) = \dfrac{4 - 2ln x}{x}$.
    $(ln x)^2=ln(x)\times ln(x)$
    On pose $u(x)=-ln(x)$ et $v(x)=ln(x)$
    $f(x)=-ln(x)\times ln(x)+4ln(x)-3$
    On pose $u(x)=-ln(x)$ et $v(x)=ln(x)$
    et on a $u'(x)=-\dfrac{1}{x}$ et $v'(x)=\dfrac{1}{x}$
    $f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)+4\times \dfrac{1}{x}+0$

    $\phantom{f'(x)}=-\dfrac{1}{x}\times ln(x)+(-ln(x))\times \dfrac{1}{x}+\dfrac{4}{x}$

    $\phantom{f'(x)}=-\dfrac{2ln(x)}{x}+\dfrac{4}{x}$

    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{-2ln(x)+4}{x}$

    donc $f'(x)=\dfrac{4-2ln(x)}{x}$
  2. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $]0 ~;~+ \infty[$.
    $x\in ]0;+\infty[$ donc $x>0$
    $f'(x)$ est donc du signe de son numérateur et il faut résoudre l'inéquation $4-2ln(x)>0$ par exemple
    $x\in ]0;+\infty[$
    donc $x>0$ et $f'(x)$ est donc du signe de son numérateur $4-2ln(x)>0$.
    Il faut donc résoudre l'inéquation $4-2ln(x)>0$ par exemple.
    Pour tout réel $x\in]0;+\infty[$:
    $4-2ln(x)>0 \Longleftrightarrow -2ln(x)>-4$

    $\phantom{4-2ln(x)>0} \Longleftrightarrow ln(x) < \dfrac{-4}{-2}$ L'inégalité change de sens quand on divise par $-2$
    $\phantom{4-2ln(x)>0} \Longleftrightarrow ln(x) < 2 $

    $\phantom{4-2ln(x) > 0} \Longleftrightarrow ln(x) < ln(e^2)$

    $\phantom{4-2ln(x)>0} \Longleftrightarrow x < e^2$
    donc $f'(x)>0$ pour $x\in ]0;e^2[$
    Tableau de variation

    avec $f(e^2)=-(ln (e^2))^2 + 4ln( e^2)- 3=-2^2+4\times 2-3=1$
  3. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $X^2 - 4X +3 = 0$ et déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe $\mathcal{C}$ et de l'axe des abscisses.
    Les abscisses des points d'intersection de la courbe et de l'axe des abscisses sont les solutions de l'équation $f(x)=0$
    Pour résoudre $f(x)=0$, on peut poser $X=ln(x)$
  4. En déduire par lecture graphique les valeurs de $x$ telles que $f(x) > 0$.
    Les solutions de l'inéquation $f(x)>0$ sont les abscisses des points de la courbe situés strictement au-dessus de l'axe des abscisses.

Partie B
Une entreprise constate que la vente de sa production dégage un bénéfice moyen par objet (en milliers d'euros) égal à $(ln x)^2 - 4ln x + 3$ où $x$ désigne le nombre de milliers d'objets fabriqués. Ce bénéfice moyen par objet n'est pas toujours positif.
  1. Calculer le bénéfice total, arrondi à l'euro près, de l'entreprise pour une production de 1000 objets puis de 3000 objets.
    Indiquer, dans chaque cas, si l'entreprise fait un bénéfice positif.
    $x$ désigne le nombre d'objets en milliers
    1000=1 milliers...
  2. Déduire de la partie A pour quelles quantités d'objets produits l'entreprise fait un bénéfice positif.
    On a $B(x)=-f(x)$
    L'entreprise réalise un bénéfice positif quand $-f(x)>0$


 
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