Exercice 493

Etude des variations-recherche du nombre de solutions d'une équation-application économique (d'après BAC Polynésie Spet 2001)

Contenu

Calcul d'une dérivée et étude des variations
Théorème de la valeur intermédiaire
Application économique (demande en fonction du prix-elasticité de la demande)

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Partie A
On considère la fonction $f$ définie sur [1;12] par $f(x) = \dfrac{5 ln x}{x^2}$.
  1. Montrer que $f~'(x) = \dfrac{5(1 - 2\ln x)}{x^3}$.
    On pose $u(x)=5ln(x)$ et $v(x)=x^2$
    On pose $u(x)=5ln(x)$ et $v(x)=x^2$
    et on a $u'(x)=\dfrac{5}{x}$ et $v'(x)=2x$
    $f~'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$

    $\phantom{f~'(x)}=\dfrac{\dfrac{5}{x}\times x^2-5ln(x)\times 2x}{(x^2 )^2}$

    $\phantom{f~'(x)}=\dfrac{\dfrac{5x^2}{x}-10xln(x)}{x^4}$

    $\phantom{f~'(x)}=\dfrac{5x-10xln(x)}{x^4}$

    $\phantom{f~'(x)}=\dfrac{5x(1-2ln(x))}{x^4}$ (on factorise par $5x$)

    $\phantom{f~'(x)}=\dfrac{5x(1-2ln(x))}{x\times x^3}$ (on peut simplifier par $x$)

    $\phantom{f~'(x)}=\dfrac{5(1-2ln(x))}{x^3}$

    $f~'(x)=\dfrac{5(1-2ln(x))}{x^3}$
  2. En déduire les variations de $f$ sur [1;12] puis dresser le tableau de variations de $f$.
    $x\in [1;12]$ donc $x > 0$ et $x^3 > 0$ donc $f~'(x)$ est du signe de son numérateur
    Il faut résoudre $1-2ln(x) > 0$ par exemple
    $x\in [1;12]$ donc $x^3 > 0$
    donc $f~'(x)$ est du signe de son numérateur $1-2ln(x)$
    $1-2ln(x) > 0 \Longleftrightarrow -2ln(x) > -1$

    $\phantom{1-2ln(x) > 0} \Longleftrightarrow ln(x) < \dfrac{-1}{-2}$ l'inégalité change de sens quand on divise par $-2$
    $\phantom{1-2ln(x) > 0} \Longleftrightarrow ln(x) < \dfrac{1}{2}$

    $\phantom{1-2ln(x) > 0} \Longleftrightarrow ln(x) < ln(e^{\frac{1}{2}})$

    $\phantom{1-2ln(x) > 0} \Longleftrightarrow x < e^{\frac{1}{2}}$

    $e^{\frac{1}{2}}=\sqrt{e}$
    donc $f~'(x) > 0$ pour $x\in [1;\sqrt{e}[$
    Tableau de variation de $f$:

    avec $f(1)= \dfrac{5 ln(1)}{1^2}=0$ (rappel $ln(1)=0$)
    $f(\sqrt{e})= \dfrac{5 ln x(\sqrt{e})}{\sqrt{e}^2}=\dfrac{\dfrac{5}{2}ln(e)}{e}=\dfrac{5}{2e}\approx 0,9$
    et $f(12)= \dfrac{5 ln x(12)}{12^2}\approx 0,09$.
  3. Montrer que l'équation $f(x) = 0,5$ admet une solution unique sur [2;12] notée $\alpha$ puis donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-2}$.
    Avec lea calculatrice, il faut calculer $f(2)$ et $f(12)$
    Vérifier que 0,5 est compris entre $f(2)$ et $f(12)$


PARTIE B
Une ville décide de promouvoir les déplacements à vélo afin de lutter contre la pollution et a acheté un parc de 1000 vélos qu'elle loue à la journée.
On constate que la demande est fonction du prix de location et que cette demande est modélisée par la fonction $f$ donnée ci-dessus dans la partie A définie sur [2;10] où $x$ désigne le prix de location d'un vélo pour la journée et $f(x)$ la demande en milliers de vélos.
  1. En utilisant la partie A, indiquer le prix à partir duquel la demande sera inférieure à 500 vélos.
    On donnera la valeur au centime d'euro près.
    La demande est donnée en milliers de vélos donc 500 vélos correspond à 0,5 milliers de vélos
    Utiliser le tableau de variation de $f$ et placer $\alpha$ et $f(\alpha)=0,5$ dans le tableau
  2. On suppose que le prix de location est fixé à 3 euros.
    Calculer le pourcentage de variation de la demande à $10^{-2}$ près lorsque le prix augmente de $0,03$ euros.
    Il faut calculer $f(3)$ et $f(3,03)$
    Le pourcentage de variation de la demande est $\dfrac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}\times 100$
  3. Le pourcentage de variation de la demande lorsque le prix augmente de 1 % est appelé " élasticité de la demande par rapport au prix ".
    On admet qu'une valeur approchée de ce nombre est $x\dfrac{f~'(x)}{f(x)}$.
    On note $E(x) = x\dfrac{f~'(x)}{f(x)}$.
    Montrer que $E(x) = \dfrac{1 - 2ln(x)}{ln (x)}$.
  4. Calculer E$(3)$ arrondi à $10^{-2}$.
    Comparer ce résultat avec celui de la question 2.


 
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