Exercice 494

Identification des coefficents-étude des variations

Contenu

Identification de coefficients
Etude des variations de f
Recherche du nombre de solutions de l'équation f(x)=0-théorème de la valeur intermédiaire
Signe de f(x)

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Partie A
On considère la fonction $g$ définie sur $]1 ;+\infty[$ par $g(x)=ax+\frac{b}{lnx}$.
Déterminer les réels $a$ et $b$ sachant que la représentation graphique $C_g$ de $g$ coupe l'axe des abscisses au point $E$ d'abscisse $e$ et que la tangente à $C_g$ au point $E$ est parallèle à la droite d'équation $y=2x$
$C_g$ coupe l'axe des abscisses au point E d'abscisse $e$ donc $g(e)=0$
Il faut ensuite exprimer $g'(x)$ puis $g'(e)$ en fonction de $a$ et $b$
Pour calculer $f~'(x)$, on pose $v(x)=ln(x)$
Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur et $g'(e)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point E.
$C_g$ de $g$ coupe l'axe des abscisses au point $E$ d'abscisse $e$ donc $g(e)=0$.
$g(e)=ae+\frac{b}{lne}=ae+b$ et $g(e)=0$ (rappel: $lne=1$)
donc on a $ae+b=0$

La droite d'équation $y=2x$ a pour coefficient directeur 2 (coefficient de $x$)
La tangente à $C_g$ au point $E$ est parallèle à la droite d'équation $y=2x$ donc la tangente à la courbe $C_g$ a pour coefficient directeur 2 (même coefficient directeur pour deux droites parallèles)
donc $g'(2)=2$
Calcul de $g'(x)$:
On pose $v(x)=ln(x)$ et on a $v'(x)=\dfrac{1}{x}$
$(\dfrac{1}{v(x)})'=\dfrac{-v'(x)}{(v(x))^2}$
$g'(x)=a+b \frac{\dfrac{-1}{x}}{(lnx)^2}$

$\phantom{g'(x)}=a-b\dfrac{1}{x}\times \dfrac{1}{(lnx)^2}$

$\phantom{g'(x)}=a- \dfrac{b}{x(lnx)^2}$
$g'(e)=a-\frac{b}{e(lne)^2}=a-\frac{b}{e}$
et on a $g'(e)=2$
donc $a-\dfrac{b}{e}=2$ soit $ae-b=2e$ (on multiplie les deux membres par $e$)

Il faut donc résoudre le système suivant:
$\begin{cases} ae+b=0\\ ae-b=2e \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} b=-ae\\ ae+ae=2e ~~~\text{on remplace } b \text{ par } -ae \end{cases}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Leftrightarrow \begin{cases} b=-ae\\ 2ae=2e \end{cases}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Leftrightarrow \begin{cases} b=-ae\\ a=1 \end{cases}$

$~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Leftrightarrow \begin{cases} b=-e\\ a=1 \end{cases}$

donc $a=1$ et $b=-e$ donc $g(x)=x-\frac{e}{lnx}$.


Partie B
On considère la fonction $f$ définie sur $]1 ;+\infty[$ par $f(x)=x-\frac{e}{lnx}$ et on note $C_f$ sa courbe représentative.
  1. Etudier les variations de $f$.
    On a finalement $g(x)=f(x)$ et d'après la partie A, $f~'(x)=g'(x)=a- \dfrac{b}{x(lnx)^2}$ avec $a=1$ et $b=-e$
  2. Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet sur $]1 ~;~ +\infty[$ une solution unique $\alpha$.
    Donner un encadrement de $\alpha$ à $10^{-1}$ près.
    Dresser le tableau de valeurs de $f$ sur $]1;10]$ par exemple et déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que 0 soit compris entre $f(a)$ et $f(b)$
  3. En déduire le signe de $f(x)$.
    On a $f(\alpha)=0$ et $f$ continue et strictement croissante.
    On peut dresser le tableau de variation de $f$ et placer $\alpha$ et $f(\alpha)=0$


 
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