Exercice 495

Etude d'une fonction en utilisant une fonction auxiliaire (type BAC ES)

Contenu

- variations d'une fonction et signe
- étude des variations d'une fonction avec un produit avec ln

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La fonction $f$ est définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x-1}{x}ln(x)$.
    1. Etudier les variations de la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty[$ par $g(x)=x-1+ln(x)$.
      $g'(x)=1-0+\dfrac{1}{x}=\dfrac{x+1}{x}$
      On a $x\in ]0;+\infty[$ donc $x>0$ et $x+1>0$
      donc $f'(x)>0$

      et donc $f$ est croissante sur $]0;+\infty[$
    2. calculer $g(1)$ et en déduire le signe de $g(x)$.
      Avec la valeur de $g(1)$ on a l'abscisse du point d'intersection de la courbe et de l'axe des abscisses
      Avec le sens de variation de $g$, on peut déterminer la position de la courbe par rapport à l'axe des abscisses et donc le signe de $g(x)$
  1. Montrer que $f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}$.
    On pose $u(x)=\dfrac{x-1}{x}$ et $v(x)=ln(x)$
  2. En déduire le tableau de variation de $f$.
    $x^2>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $g(x)$


 
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