Exercice 496

Etude d'une fonction en utilisant une fonction auxiliaire (type BAC ES)

Contenu

- calcul de dérivées
- théorème de la valeur intermédiaire
- étude des variations d'une fonction à l'aide d'une fonction auxiliaire

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La fonction $h$ est définie sur $[1;+\infty[$ par $h(x)=1+x^2-2x^2ln(x)$.
    1. Montrer que $h'(x)=-4x ln(x)$
      On pose $u(x)=-2x^2$ et $v(x)=ln(x)$ et on a $h(x)=1+x^2+u(x)v(x)$
      On pose $u(x)=-2x^2$ et $v(x)=ln(x)$ et on a $h(x)=1+x^2+u(x)v(x)$
      On a $u'(x)=-2\times 2x=-4x$ et $v'(x)=\dfrac{1}{x}$
      $h'(x)=2x+u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
      $\phantom{h'(x)}=2x+(-4x)\times ln(x)+(-2x^2)\times \dfrac{1}{x}$
      $\phantom{h'(x)}=2x-4x ln(x)-2x$
      $\phantom{h'(x)}=-4x ln(x)$

      $h'(x)=-4xln(x)$
    2. En déduire le sens de la fonction $h$ définie sur $[1;+\infty[$.
      $ln(x) > 0$ pour $x > 1$
      Rappel: On a la courbe suivante pour la fonction $ln$

      $x\geq 1$ et $ln(x) \geq 0$ sur $[1;+\infty[$
      donc $-4xln(x)\leq 0$
      donc $h'(x)\leq 0$

      donc $h$ est décroissante sur $[1;+\infty[$
    3. Calculer $h(1)$ et $h(e)$.
      rappel $ln(e)=1$ et $ln(1)=0$
    4. Montrer que l'équation $h(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ sur l'intervalle $[1;e]$ et donner un encadrement de $\alpha$ à $0,1$ près.
      $h$ est décroissante et 0 est compris entre $h(1)$ et $h(e)$
      On utilise le menu table de la calculatrice pour encadrer $\alpha$
    5. En déduire le signe de $h(x)$ sur $[1;+\infty[$
      On utilise le sens de variation de $h$ et la représentation graphique de $h$ coupe l'axe des abscisses en $\alpha$
  1. $f$ est définie sur $[1;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{ln(x)}{1+x^2}$
    1. Montrer que $f'(x)=\dfrac{h(x)}{x\left(1+x^2\right)^2}$
      On pose $u(x)=ln(x)$ et $v(x)=1+x^2$
    2. En déduire le tableau de variation de $f$.
      On a $x\geq 1$ et $\left(1+x^2\right)^2 >0$ donc $f'(x)$ est du signe de $h(x)$


 
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