Exercice 523

Recherche de primitives avec l'exponentielle

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Recherche de primitive en utilisant (eu(x))'=u'(x)eu(x)

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$f$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$.
Déterminer une primitive de $f$ dans chaque cas.
  1. $f(x)=e^{-x}$
    En posant $u(x)=-x$, on a $(e^{-x})'=u'(x)e^{u(x)}=-e^{-x}$
    $F(x)=-e^{-x}$
    En effet, en posant $u(x)=-x$, on a $u'(x)=-1$
    et donc $F'(x)=-u'(x)e^{u(x)}=-(-1e^{-x})=e^{-x}=f(x)$

    donc $F(x)=-e^{-x}$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$.
  2. $f(x)=e^{2x}$
    En posant $u(x)=2x$, on a $(e^{2x})'=u'(x)e^{u(x)}=2e^{2x}$
  3. $f(x)=e^{-3x}$
    En posant $u(x)=-3x$, on a $(e^{-3x})'=u'(x)e^{u(x)}=-3e^{-3x}$


 
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