Exercice 525

Primitive vérifiant une condition donnée avec ln et exp

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Recherche de primitives avec les fonctions ln et exponentielle
Recherche de la primitive vérifiant une condition donnée

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Soit $f$ définie et continue sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=ln(x)$.
On donne $F(x)=xln(x)-x$.
  1. Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0;+\infty[$
    Il faut vérifier que $F'(x)=f(x)$
    On pose $u(X)=x$ et $v(x)=ln(x)$
    On pose $u(x)=x $ et $v(x)=ln(x)$
    et on a $u'(x)=1$ et $v'(x)=\dfrac{1}{x}$ $F'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)-1$

    $\phantom{F'(x)}=1\times ln(x)+x\times \dfrac{1}{x}-1 $

    $\phantom{F'(x)}= ln(x)+1 -1 $

    $\phantom{F'(x)}= ln(x)$

    $\phantom{F'(x)}= f(x)$

    donc $F$ est bien une primitive de $f$ sur $]0;+\infty[$
  2. Déterminer la primitive de $f$ sur $]0;+\infty[$ s'annulant en $x=1$
    Si $F$ est une primitive de $f$ alors $G(x)=F(x)+C$ avec $C$ constante réelle est aussi une primitive de $f$
    On veut $G(1)=0$


 
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