Exercice 526

Justifier qu'une fonction est une primitive-primitive vérifiant une condition donnée

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Justifier qu'une fonction F est une primitive de f
Recherche de la constante sachant que F vérifie une condition donnée

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Soit $f$ définie et continue sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=xe^{-x}$.
On donne $F(x)=(-x-1)e^{-x}$.
  1. Montrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$
    Il faut vérifier que $F'(x)=f(x)$
    On pose $u(X)=-x-1$ et $v(x)=e^{-x}$
    On pose $u(x)=-x-1 $ et $v(x)=e^{-x}$
    et on a $u'(x)=-1$ et $v'(x)=(-x)'e^{-x}=-e^{-x}$
    $F'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$

    $\phantom{F'(x)}=-1\times e^{-x}+(-x-1)\times (-e^{-x})$

    $\phantom{F'(x)}=-e^{-x}+xe^{-x}+e^{-x}$

    $\phantom{F'(x)}= xe^{-x}$

    $\phantom{F'(x)}= f(x)$

    donc $F$ est bien une primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$
  2. Déterminer la primitive $G$ de $f$ sur $\mathbb{R}$ telle que $G(-1)=1$
    Si $F$ est une primitive de $f$ alors $G(x)=F(x)+C$ avec $C$ constante réelle est aussi une primitive de $f$
    On veut $G(-1)=1$


 
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