Exercice 528

Justifier qu'une fonction est une primitive (d'après BAC Inde Juin 2009)

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Vérifier qu'une fonction G est une primitive de g
En déduire une primitive de f définie en fonction de g

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On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=x(ln(x)-1)$ et la fonction $g$ définie sur $]0;+\infty[$ par $g(x)=xln(x)$
  1. Montrer que $G$ définie par $G(x)=\dfrac{1}{2}x^2ln(x)-\dfrac{1}{4}x^2$ est une primitive de $g$ sur $]0;+\infty[$.
    Il faut calculer $G'(x)$
    $G$ est la somme de $\dfrac{1}{2}x^2ln(x)$ et de $\dfrac{1}{4}x^2$
    On pose $u(x)\dfrac{1}{2}x^2$ et $v(x)=ln(x)$
    On pose $u(x)=\dfrac{1}{2}x^2 $ et $v(x)=ln(x) $
    et on a $u'(x)=\dfrac{1}{2}2x=x $ et $v'(x)=\dfrac{1}{x} $ $G'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)-\dfrac{1}{4}\times 2x$

    $\phantom{G'(x)}=xln(x)+\dfrac{1}{2}x^2\times \dfrac{1}{x}-\dfrac{x}{2} $

    $\phantom{G'(x)}=xln(x)+\dfrac{x}{2}-\dfrac{x}{2}$

    $\phantom{G'(x)}=xln(x)$

    $\phantom{G'(x)}=g(x)$

    donc $G$ est une primitive de $g$ sur $]0;+\infty[$.
  2. En déduire une primitive $F$ de $f$ sur $]0;+\infty[$.
    $f(x)=xln(x)-x=g(x)-x$


 
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