Exercice 6410

Probabilités totales et probabilités condiotionnelles(extrait BAC S 2015)

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- arbre pondéré
- formule des probabilités totales
- probabilité conditionnelle

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Une entreprise fabrique des tablettes de chocolat de 100 grammes. Le service de contrôle qualité effectue plusieurs types de contrôles.
Le service contrôle la qualité des fèves de cacao livrées par les producteurs. Un des critères de qualité est le taux d'humidité qui doit être de 7%. On dit alors que la fève est conforme.
L'entreprise a trois fournisseurs différents :
le premier fournisseur procure la moitié du stock de fèves, le deuxième 30% et le dernier apporte 20% du stock.
Pour le premier, 98% de sa production respecte le taux d'humidité;
pour le deuxième, qui est un peu moins cher, 90% de sa production est conforme,
et le troisième fournit 20% de fèves non conformes.

On choisit au hasard une fève dans le stock reçu. On note $F_i$ l'évènement "la fève provient du fournisseur $i$", pour $i$ prenant les valeurs 1, 2 ou 3, et $C$ l'évènement "la fève est conforme".
  1. Déterminer la probabilité que la fève soit conforme.
    On peut construire un arbre pondéré pour calculer $p(C)$.
    le premier fournisseur procure la moitié du stock de fèves donc $p(F_1)=0,5$, le deuxième 30% donc $p(F_2)=0,3$ et le dernier apporte 20% du stock donc $p(F_3)=0,2$.
    Pour le premier, 98% de sa production respecte le taux d'humidité donc $p_{F_1}(C)=0,98$;
    pour le deuxième, qui est un peu moins cher, 90% de sa production est conforme $p_{F_2}(C)=0,9$;
    et le troisième fournit 20% de fèves non conformes $p_{F_3}(C)=1-0,2=0,8$;
    On a donc l'arbre suivant:

    Avec la formule des probabilités totales, on a:
    $p(C)=p(F_1\cap C)+p(F_2\cap C)+p(F_3\cap C)$
    $\phantom{p(C)}=0,5\times 0,98+0,3\times 0,9+0,2\times 0,8$
    $\phantom{p(C)}=0,92$

    La probabilité que la fève soit conforme est $p(C)=0,92$.
  2. Déterminer la probabilité que la fève provienne du fournisseur 1, sachant qu'elle est conforme. Le résultat sera arrondi à $10^{-2}$.
    On peut construire un arbre pondéré pour calculer d'abord $p(C)$ et on veut calculer $p_C(F_1)$
  3. Le troisième fournisseur ayant la plus forte proportion de fèves non conformes.
    L'entreprise décide de ne conserver que les fournisseurs 1 et 2. De plus, elle souhaite que 92% de fèves qu'elle achète soient conformes.
    Quelle proportion $p$ de fèves doit-elle acheter au fournisseur 1 pour atteindre cet objectif ?
    On peut noter $p$ la proportion de fèves provenant du fournisseur 1.


 
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