Exercice 648

Probabilités conditionnelles et totales (d'après BAC ES antilles 2008)

Contenu

- Partie 1 de l'exercice 2 probabilités du sujet Pondichéry 2008
- construction d'un arbre pondéré à partir des données
- calculs de probabilités avec les probabilités conditionnelles
- utilisation de la formule des probabilités totales pour déterminer une probabilités manquante
La partie 2 et l'exercice complet en vidéo dans le chapitre révisions (chap 8)

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Remarque: L'exercice complet en vidéo est disponible dans le chapitre 8 Révisions (probabilités (partie 1) et loi binomiale (partie 2)
Une agence de voyages propose exclusivement trois destinations : la destination A, la destination G et la destination M.
50% des clients choisissent la destination A ;
30% des clients choisissent la destination G ;
20% des clients choisissent la destination M.
Au retour de leur voyage, tous les clients de l'agence répondent à une enquête de satisfaction.
Le dépouillement des réponses à ce questionnaire permet de dire que 90% des clients ayant choisi la destination M sont satisfaits, de même que 80% des clients ayant choisi la destination G.
On prélève au hasard un questionnaire dans la pile des questionnaires recueillis.
On note les évènements :
- A : " le questionnaire est celui d'un client ayant choisi la destination A ";
- G : " le questionnaire est celui d'un client ayant choisi la destination G ";
- M : " le questionnaire est celui d'un client ayant choisi la destination M ";
- S : " le questionnaire est celui d'un client satisfait ";
- $\overline{\text{S}}$ : " le questionnaire est celui d'un client insatisfait ".
  1. Traduire les données de l'énoncé sur un arbre de probabilité.
    Il faut traduire les données de l'énoncé avec les notations des événements données
    Par exemple $p(A)$....$p_M(S)$...
    50% des clients choisissent la destination A donc $p(A)=0,5$
    30% des clients choisissent la destination G donc $p(G)=0,3$
    20% des clients choisissent la destination M donc $p(M)=0,2$
    90% des clients ayant choisi la destination M sont satisfaits donc $p_M(S)=0,9$
    de même que 80% des clients ayant choisi la destination G donc $p_G(S)=0,8$
  2. Traduire par une phrase les évènements $G \cap S$ et $M \cap S$ puis calculer les probabilités $P(G\cap S)$ et $P(M \cap S)$.
    On peut utiliser l'arbre pour calculer $p(M\cap S)$
    $G \cap S$ est donc l'événement "le client a choisi la destination G et il est satisfait.
    $M \cap S$ est donc l'événement "le client a choisi la destination M et il est satisfait.
    $P(G\cap S)=p(G)\times p_G(S)=0,3\times 0,8=0,24$ (en rouge sur l'arbre)
    $P(M\cap S)=p(M)\times p_G(S)=0,2\times 0,9=0,18$ (en vert sur l'arbre)

    La probabilité que le client ait choisi G et soit satisfait est $p(G\cap S)=0,24$


    La probabilité que le client ait choisi M et soit satisfait est $p(M\cap S)=0,18$
  3. L'enquête montre que 72% des clients de l'agence sont satisfaits. En utilisant la formule des probabilités totales, calculer $P(A\cap S)$.
    On a $p(S)=0,72$
  4. En déduire $P_{\text{A}}(S)$, probabilité de l'évènement S sachant que l'évènement A est réalisé.
    On a $p(A\cap S)=p(A)\times p_A(S)$
  5. Le questionnaire prélevé est celui d'un client qui est satisfait.
    Le client a omis de préciser quelle destination il avait choisie.
    Déterminer la probabilité qu'il ait choisi la destination G (on donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible).
    Le questionnaire prélevé est celui d'un client qui est satisfait.
    On sait que le client est satisfait donc on veut calculer $p_S(G)$


 
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