Exercice 649

Probabilités avec un arbre (extrait BAC ES 2015 étranger)

Contenu

- arbre de probabilités
- probabilité conditionnelle et probabilités totales

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Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième.
Une entreprise spécialisée dans la fabrication de confitures fait appel à des producteurs locaux. À la livraison, l'entreprise effectue un contrôle qualité à l'issue duquel les fruits sont sélectionnés ou non pour la préparation des confitures.
Une étude statistique a établi que :
22% des fruits livrés sont issus de l'agriculture biologique;
parmi les fruits issus de l'agriculture biologique, 95% sont sélectionnés pour la préparation des confitures ;
parmi les fruits non issus de l'agriculture biologique, 90% sont sélectionnés pour la préparation des confitures.
On prélève au hasard un fruit et on note :
- $B$ l'évènement "le fruit est issu de l'agriculture biologique" ;
- $S$ l'évènement "le fruit est sélectionné pour la préparation des confitures".
Pour tout évènement $E$, on note $p(E)$ sa probabilité, $p_F(E)$ la probabilité de l'évènement $E$ sachant que l'évènement $F$ est réalisé et $\overline{E}$ évènement contraire de $E$.
  1. Représenter la situation par un arbre pondéré.
    Il faut traduire les données de l'énoncé avec les notations des événements données.
    Par exemple, parmi les fruits issus de l'agriculture biologique, 95% sont sélectionnés pour la préparation des confitures donne $p_S(B)$
    22% des fruits livrés sont issus de l'agriculture biologique donc $p(B)=0,22$
    Par exemple, parmi les fruits issus de l'agriculture biologique, 95% sont sélectionnés pour la préparation des confitures donne $p_S(B)$
    et parmi les fruits non issus de l'agriculture biologique, 90% sont sélectionnés pour la préparation des confitures donc $p_{\overline{B}}(S)=0,9$
    On a donc l'arbre suivant:
  2. Déterminer la probabilité que le fruit soit sélectionné pour la préparation des confitures et qu'il soit issu de l'agriculture biologique.
    Cet événement se note $B\cap B$
  3. Montrer que $p(S) = 0,911$.
    Il faut utiliser la formule des probabilités totales pour $p(S)$
  4. Sachant que le fruit a été sélectionné pour la préparation des confitures, déterminer la probabilité qu'il ne soit pas issu de l'agriculture biologique.
    On veut calculer $p_S(\overline{B})$


 
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