Exercice 653

Pannes dans un parc informatique

Contenu

Identification des paramètres d'une loi binomiale
Calculs de probabilités
Espérance

Infos sur l'exercice

liens/options

  • afficher seulement énoncé
  • Afficher le PDF
  • télécharger le PDF
  • ex semblables
  • Documents associés
  • questions
Une entreprise possède 50 ordinateurs.
La probabilités qu'un ordinateur tombe en panne est de $0,01$.
On suppose que le fonctionnement d'un ordinateur est indépendant des autres.
  1. Justifier que la variable aléatoire $X$ correspondant au nombre d'ordinateurs en panne suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
    Identifier le schéma de Bernouilli correspondant à cette situation.
    $X$ est la variable aléatoire correspondant au nombre d'ordinateurs en panne.
    $X$ peut prendre toute valeur entière comprise entre 0 et 50 soit l'ensemble $\left\lbrace 0;1;2..........;49;50\right\rbrace $
    On considère l'épreuve de Bernouilli qui consiste à prendre un ordinateur au hasard parmi les 50 ordinateurs de l'entreprise et ayant les issues possibles $S$:" l'ordinateur est en panne " et $E=\overline{S}$: " l'ordinateur n'est pas en panne".
    On a $p(S)=0,01$ et $p(E)=1-0,01=0,99$.
    Ces ordinateurs étant indépendants les uns des autres, la loi de probabilité de $X$ suit la loi binomiale de paramètres 50 et 0,01 notée aussi $\mathcal{B}(50;0,01)$.

    $X$ suit la loi $\mathcal{B}(50;0,01)$
  2. Calculer la probabilité qu'aucun ordinateur ne tombe en panne.
    Si qucun ordinateur n'est en panne, on a $X=0$
    On veut calculer $p(X=0)$:
    $p(X=0)=\begin{pmatrix} 50\\ 0\\ \end{pmatrix}\times 0,01^0\times 0,99^{50}=0,99^{50}\approx 0,605$

    La probabilité qu'aucun ordinateur ne soit en panne est de 0,605 environ.
  3. Calculer la probabilité que 5 ordinateurs soient en panne.
    Si 5 ordinateurs sont en panne, on a alors $X=5$
  4. Calculer la probabilité de l'événement E:" au moins un ordinateur est en panne".
    Au moins un ordinateur est en panne correspond à $X\geq 1$ et est le contraire de $X < 1$ soit $X=0$
  5. Calculer $E(X)$ et interpréter ce résultat.


 
Haut de page