Exercice 696

Arbre-probabilités totales

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Construction d'un arbre pondéré
Formule des probabilités totales
Recherche d'un seuil-inéquation

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A la sortie d'une chaîne de fabrication de pièces destinées à l'aérospatiale, on effectue un contrôle rigoureux pour qu'une pièce présentant un défaut ne soit pas livrée.
- $D$ l'évènement « la pièce présente un défaut »
- $A$ l'évènement « la pièce est acceptée au contrôle »
- $E$ l'évènement « le contrôle est défectueux » (la pièce a un défaut et est acceptée à l'issue du contrôle).
On note $p$ la probabilité qu'une pièce prise au hasard parmi les pièce fabriquées ne présente pas de défaut.
La probabilité qu'une pièce n'ayant pas de défaut soit refusée est de 0,01.
La probabilité qu'une pièce ayant un défaut soit acceptée est de 0,05.

Partie 1
  1. Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
    La probabilité qu'une pièce n'ayant pas de défaut soit refusée est de 0,01 donc $p_{\overline{D}}(\overline{A})=0,01$.
    La probabilité qu'une pièce ayant un défaut soit acceptée est de 0,05 donc $p_{\overline{D}}(A)=0,05$.
    On a donc:
  2. Calculer en fonction de $p$ la probabilité de $E$.
    $E$ est l'événement la pièce a un défaut et est acceptée donc se note $D\cap A$.
    $E$ est l'événement « le contrôle est défectueux (la pièce a un défaut et est acceptée à l'issue du contrôle)» donc se note $E=D \cap A$.
    $p(D\cap A)=p(D)\times p_D(A)=(1-p)\times 0,05=0,05-0,05p$

    $p(E)=0,05-0,05p$
  3. Calculer, en fonction de p, la probabilité la pièce soit acceptée.
    On veut calculer $p(A)$ et il faut utiliser la formule des probabilités totales.
  4. On s'intéresse à la probabilité qu'une pièce acceptée soit réellement sans défaut (c'est à dire la probabilité que la pièce soit sans défaut sachant qu'elle a été acceptée au contrôle).
    Montrer que cette probabilité, notée $f(p)$, est définie par $f(p) =\dfrac{99p}{94p + 5}$.
    La probabilité que la pièce soit sans défaut sachant qu'elle a été acceptée au contrôle se note $p_A(\overline{D})$
  5. Déterminer alors la valeur minimale, arrondie aux centièmes, de p pour que plus de 99% des pièces acceptées n'aient pas de défaut.
    On veut $f(p)> 0,99$


 
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