Exercice 697

Arbre-probabilités totales-loi binomiale (d'après BAC)

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Calculs de probabilités-probabilités totales
Justifier une loi binomiale
Calculs de probabilités avec la loi binomiale

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Dans une région, on effectue un sondage à propos de la pose d'éoliennes et on a obtenu les résultats suivants:

-$65$ % des personnes interrogées sont contre la pose d'éoliennes.
- Parmi les personnes qui sont contre la pose d'éoliennes, $70$% sont écologistes.
- $52,5$% des personnes interrogées sont écologistes. On interroge l'une de ces personnes au hasard et on note:
- $F$ l'événement: "la personnes interrogée est favorable aux éoliennes".
- $E$ l'événement: "la personne interrogée est écologiste".
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
  1. Traduire les trois données de l'énoncé avec les notations des événements données ci-dessus.
    -$65$ % des personnes interrogées sont contre la pose d'éoliennes donc $p(F)=0,65$.
    - Parmi les personnes qui sont contre la pose d'éoliennes, $70$% sont écologistes donc $p_{\overline{F}}(E)=0,7$.
    - $52,5$% des personnes interrogées sont écologistes donc $p(E)=0,525$.

    $p(F)=0,65$, $p_{\overline{F}}(E)=0,7$ et $p(E)=0,525$.
  2. On note $p$, la probabilité $p_F(E)$.
    Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous correspondant aux divers cas possibles:
    .
  3. Calculer la probabilité que la personne interrogée soit contre la pose des éoliennes et écologiste.
    La probabilité que la personne interrogée soit contre la pose des éoliennes et écologiste se note $p(\overline{F}\cap E)$.
  4. Montrer que $p(F\cap E)=0,07$.
    En déduire la valeur de $p=p_F(E)$.
    On utilise la formule des probabilités totales pour exprimer $p(E)$ et on a $p(E)=0,525$.
  5. Calculer la probabilité $p_E(F)$. On donnera le résultat sous forme d'une fraction irréductible.
    Cette probabilité n'est pas donnée dans l'énoncé car on donne $p_F(E)$.
    Il faut écrire la formule des probabilités conditionnelles avec $p(F\cap E)$


Partie B
On rappelle que $p(E)=0,525$.
On interroge successivement quatre personnes de la région. Chacune de ces personnes répond indépendamment des autres.
On donnera les résultats arrondis aux centièmes.
  1. Justifier que la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ donnant le nombre de personnes écologistes parmi les quatre interrogées suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
    Identifier l'épreuve de Bernouilli répétée
  2. Quelle est la probabilité d'interroger quatre personnes écologistes?
    On veut ici $X=4$
  3. Quelle est la probabilité d'interroger au moins une personne écologiste?
    On veut $X\geq 1$ et on peut calculer la probabilité de l'événement contraire.


 
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