Exercice 697
Arbre-probabilités totales-loi binomiale (d'après BAC)
Dans une région, on effectue un sondage à propos de la pose d'éoliennes et on a obtenu les résultats suivants:
-$65$ % des personnes interrogées sont contre la pose d'éoliennes.
- Parmi les personnes qui sont contre la pose d'éoliennes, $70$% sont écologistes.
- $52,5$% des personnes interrogées sont écologistes. On interroge l'une de ces personnes au hasard et on note:
- $F$ l'événement: "la personnes interrogée est favorable aux éoliennes".
- $E$ l'événement: "la personne interrogée est écologiste".
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
Partie B
On rappelle que $p(E)=0,525$.
On interroge successivement quatre personnes de la région. Chacune de ces personnes répond indépendamment des autres.
On donnera les résultats arrondis aux centièmes.
-$65$ % des personnes interrogées sont contre la pose d'éoliennes.
- Parmi les personnes qui sont contre la pose d'éoliennes, $70$% sont écologistes.
- $52,5$% des personnes interrogées sont écologistes. On interroge l'une de ces personnes au hasard et on note:
- $F$ l'événement: "la personnes interrogée est favorable aux éoliennes".
- $E$ l'événement: "la personne interrogée est écologiste".
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
- Traduire les trois données de l'énoncé avec les notations des événements données ci-dessus.
-$65$ % des personnes interrogées sont contre la pose d'éoliennes donc $p(F)=0,65$.
- Parmi les personnes qui sont contre la pose d'éoliennes, $70$% sont écologistes donc $p_{\overline{F}}(E)=0,7$.
- $52,5$% des personnes interrogées sont écologistes donc $p(E)=0,525$.
$p(F)=0,65$, $p_{\overline{F}}(E)=0,7$ et $p(E)=0,525$. - On note $p$, la probabilité $p_F(E)$.
Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous correspondant aux divers cas possibles:
Probabilités sur un arbre pondéré
$A$ et $B$ sont deux événements.
.
- Calculer la probabilité que la personne interrogée soit contre la pose des éoliennes et écologiste.
Probabilité conditionnelle
$A$ et $B$ sont deux événements .
La probabilité que $B$ soit réalisé sachant que $A$ est réalisé se note $p_A(B)$.
$p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)$
On a aussi $p(A\cap B)=p(B)\times p_B(A)$
Pour calculer $p_A(B)$, on écrit $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$La probabilité que la personne interrogée soit contre la pose des éoliennes et écologiste se note $p(\overline{F}\cap E)$.
Aide en ligne (explications, conseils de révisions...)
- Montrer que $p(F\cap E)=0,07$.
En déduire la valeur de $p=p_F(E)$.Formule des probabilités totales
Si les événements $A_1$, $A_2$...$A_n$ forment une partition de l'univers $\Omega$.
(c'est à dire disjoints deux à deux et dont la réunion est l'univers: $A_i\cap A_j=\oslash$ et $A_1\cup A_2$...$\cup A_n=\Omega$)
alors $p(B)=p(A_1\cap B)+p(A_2 \cap B)+$.....$(A_n\cap B)$
Avec deux événements $A$ et $B$, $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers ($A\cap \overline{A}=\oslash$ et $A\cup \overline{A}=\Omega$) et donc:
$p(B)=p(A\cap B)+(\overline{A} \cap B)$
Note: La rédaction concernant la partition de l'univers n'est pas exigible en TES.
On peut juste écrire: D'après la formule des probabilités totales.....On utilise la formule des probabilités totales pour exprimer $p(E)$ et on a $p(E)=0,525$.Réussir en maths, c'est possible, rejoignez-nous!
- Calculer la probabilité $p_E(F)$. On donnera le résultat sous forme d'une fraction irréductible.
Probabilité conditionnelle
$A$ et $B$ sont deux événements .
La probabilité que $B$ soit réalisé sachant que $A$ est réalisé se note $p_A(B)$.
$p(A\cap B)=p(A)\times p_A(B)$
On a aussi $p(A\cap B)=p(B)\times p_B(A)$
Pour calculer $p_A(B)$, on écrit $p_A(B)=\dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}$Cette probabilité n'est pas donnée dans l'énoncé car on donne $p_F(E)$.
Il faut écrire la formule des probabilités conditionnelles avec $p(F\cap E)$Besoin d'aide, explication d'une notion, devoir ou exercice à faire...:AIDE EN LIGNE
Partie B
On rappelle que $p(E)=0,525$.
On interroge successivement quatre personnes de la région. Chacune de ces personnes répond indépendamment des autres.
On donnera les résultats arrondis aux centièmes.
- Justifier que la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ donnant le nombre de personnes écologistes parmi les quatre interrogées suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
Epreuve de Bernouilli
Un épreuve de Bernouilli est une expérience aléatoire n'ayant que deux issues possibles notées S :"succés" et E$=\overline S$ :"échec"Probabilités avec la loi binomiale
Dans un schéma de Bernouilli de $n$ épreuves répétées (éxpériences aléatoires indépendantes et n'ayant que deux issues possibles), pour tout entier $k$ tout entier $n$ tels que $0\leq k\leq n$, si on a $p(S)=p$ et $P(E)=p(\overline{S})=1-p$, la probabilité d'obtenir $k$ succès parmi $n$ est:
$p(X=k)=\begin{pmatrix} n\\ k\\ \end{pmatrix}\times p^k\times (1-p)^{n-k}$Identifier l'épreuve de Bernouilli répétéeBesoin d'aide, dialoguez avec un professeur qui vous conseille, vous aide ou vous apporte les explications nécessaires.
- Quelle est la probabilité d'interroger quatre personnes écologistes?
On veut ici $X=4$
- Quelle est la probabilité d'interroger au moins une personne écologiste?
On veut $X\geq 1$ et on peut calculer la probabilité de l'événement contraire.