Exercice 698

Sujet BAC ES (centres étrangers 2012)

Contenu

- arbre pondéré
- formules des probabilités totales
- probabilités conditionnelles
- loi binomiale

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Un sondage a été effectué auprès des anciens élèves d'un lycée quelques années après l'obtention de leur baccalauréat.
Ce sondage révèle que 55% d'entre eux poursuivent leurs études à la faculté, 10% ont intégré une école d'ingénieur et le pourcentage restant est sur le marché du travail (en activité ou en recherche d'emploi).
Ce sondage révèle aussi que :
45% des anciens élèves qui poursuivent leurs études à la faculté ont fait le choix de vivre en colocation.
30% des anciens élèves qui ont intégré une école d'ingénieur ont fait le choix de vivre en colocation.
15% des anciens élèves sur le marché du travail ont fait le choix de vivre en colocation.
On interroge au hasard un ancien élève du lycée et on note :
$F$ l'évènement : "l'ancien élève poursuit ses études à la faculté";
$I$ l'évènement : " l'ancien élève a intégré une école d'ingénieur " ;
$T$ l'évènement : " l'ancien élève est sur le marché du travail" ;
$C$ l'évènement : " l'ancien élève vit en colocation ".
  1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
    Placer les probabilités non conditionnelles au premier nievau de l'arbre, soit $p(F)$, $P(I)$ et $p(T)
    55% des élèves poursuivent leurs études à la faculté donc $p(F)=0,55$
    10% des élèves poursuivent des études d'ingénieur donc $p(I)=0,1$

    45% des anciens élèves qui poursuivent leurs études à la faculté ont fait le choix de vivre en colocation donc $p_F(C)=0,45$.
    30% des anciens élèves qui ont intégré une école d'ingénieur ont fait le choix de vivre en colocation donc $p_I(C)=0,3$
    15% des anciens élèves sur le marché du travail ont fait le choix de vivre en colocation donc $p_T(C)=0,15$
    1. Exprimer à l'aide d'une phrase l'évènement $F \cap C$ puis calculer la valeur exacte de sa probabilité.
      $F\cap C$ se lit événement $F$ et $C$ réalisés
      $F \cap C$ signifie que l'étudiant est en faculté et en colocation
      $p(F\cap C)=p(F) p_F(C)=0,55 \times 0,45=0,2475$

      La probabilité que l'étudiant soit en faculté et en colocation est $p(F\cap C)=0,2475$.
    2. Montrer que la probabilité de l'évènement $C$ est égale à $0,33$.
      Il faut calculer $p(C)$ en utilisant la formule des probabilités totales et/ou l'arbre en identifiant les parcours menant à l'événement $C$.
  2. Un ancien élève vit en colocation.
    Calculer la probabilité qu'il poursuive ses études à la faculté.
    On veut calculer $p_C(F)$
  3. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
    Le responsable du sondage affirme : " Plus de la moitié des élèves n'ayant pas fait le choix de la colocation poursuivent des études".
    Cette affirmation est-elle correcte ? Justifier.
    On veut calculer $p_{\overline{C}}(\overline{T})$
  4. On interroge au hasard trois anciens élèves. On suppose que le nombre d'anciens élèves est suffisamment important pour considérer que ce choix est fait de manière indépendante.
    Calculer la probabilité pour qu'au moins un des anciens élèves vive en colocation. On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près.
    Il faut justifier que la variable aléatoire suit une loi binomiale
    Au moins un des trois est le contraire de aucun n'est en colocation


 
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