Exercice 1012

Calculs d'intégrales et fonction densité

Contenu

- calcul d'une intégrale
- justifier que f est une densité

Infos sur l'exercice

liens/options

  • afficher seulement énoncé
  • Afficher le PDF
  • télécharger le PDF
  • ex semblables
  • Documents associés
  • questions
Dans chaque cas, justifier que $f$ défini une fonction de densité de probabilité sur l'intervalle $D$.
  1. $f(x)=\dfrac{2x+1}{4}$ et $D=[1;2]$.
    Vérifier que $f(x)\geq 0$ sur $D$.
    Chercher une primitive de $f$ sur $D$ avec $f(x)=\dfrac{1}{4}(2x+1)$
    puis calculer $\int_1^2 f(x)dx$
    $f$ est continue sur $[1;2]$.
    $x \in [1;2]$ donc $2x\geq 0$ donc $2x+1> 0$
    et donc $f(x)> 0$ sur $[1;2]$
    $F(x)=\dfrac{x^2+x}{4}$ est une primitive de $f$ sur $[1;2]$
    en effet $F'(X)=\dfrac{2x+1}{4}=f(x)$
    $F(2)=\dfrac{2^2+2}{4}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$
    et $F(1)=\dfrac{1^2+1}{4}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$
    $\int_1^2 f(x)dx=F(2)-F(1)=\dfrac{3}{2}-\dfrac{2}{2}=1$

    donc $f$ définit bien une loi à densité de probabilité sur $[1;2]$
  2. $f(x)=\dfrac{x^2}{9}$ et $D=[0;3]$.
    $f(x)=\dfrac{1}{9}\times x^2$ et il faut vérifier que $f(x)\geq 0$ et calculer $\int_0^3 f(x)dx$
  3. $f(x)=\dfrac{e^x}{e-1}$ et $D=[0;1]$.


 
Haut de page