Exercice 1021

Fonction densité et calcul d'une probabilité

Contenu

- justifier qu'une fonction est une densité
- calcul d'une intégrale avec un polynôme de degré 2
- calcul d'une probabilité avec la fonction densité

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La fonction $f$ est définie sur $[-1;1]$ par $f(x)=\dfrac{3}{4}(1-x^2)$.
  1. Vérifier que $f$ est bien une fonction densité pour une loi de probabilité sur $[-1;1]$.
    Il faut calculer $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x)dx$
    $-1\leq x \leq 1$ donc $0\leq t^2 \leq 1$
    donc $f$ est continue et $f(x)\geq 0$ sur $[-1;1]$
    $F(x)=\dfrac{3}{4}\left(x-\dfrac{x^3}{3}\right)$ est une primitive de $f$ sur $[-1;1]$
    $F(-1)=\dfrac{3}{4}\left(-1-\dfrac{(-1)^3}{3}\right)=\dfrac{3}{4}\times \dfrac{-2}{3}=-\dfrac{1}{2}$
    et $F(1)=\dfrac{3}{4}\left(1-\dfrac{(1)^3}{3}\right)=\dfrac{3}{4}\times \dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{2}$
    donc $\displaystyle \int_{-1}^1 f(x)dx=F(1)-F(-1)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{-1}{2}=1$

    donc $f$ est bien une fonction densité.
  2. $X$ suit la loi de probabilité dont $f$ est la fonction densité.
    Calculer $p(X\leq 0)$
    Il faut calculer $\displaystyle \int_{-1}^0 f(x)dx$


 
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