Exercice 1022

Déterminer la fonction densité et calculs de probabilités

Contenu

- déterminer la fonction densité de la forme f(x)=kx sur [0;10]
- calculs de probabilités avec la fonction densité

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La fonction $f$ est définie sur $[0;10]$ par $f(x)=kx$ avec $k$ réel positif.
  1. Déterminer la valeur de $k$ pour que $f$ soit une fonction densité pour une loi de probabilité sur $[0;10]$.
    Il faut calculer $\displaystyle \int_{0}^{10} f(x)dx$ en fonction de $k$ et on veut que cette intégrale soit égale à 1
    $x\in[0;10]$ et $k\geq 0$
    donc $f$ est continue et $f(x)\geq 0$ sur $[0;10]$
    $F(x)=\dfrac{kx^2}{2}$ est une primitive de $f$ sur $[0;10]$
    $F(0)=\dfrac{k\times 0^2}{2}=0$
    et $F(10)=\dfrac{k\times 10^2}{2}=50k$
    donc $\displaystyle \int_{0}^{10} f(x)dx=F(10)-F(0)=50k-0=50k$
    $f$ est une fonction densité si $50k=1$ soit $k=\dfrac{1}{50}=0,02$

    donc $f$ est une fonction densité pour $k=0,02$.
  2. $X$ suit la loi de probabilité dont $f$ est la fonction densité.
    Calculer $p(X\leq 5)$
    Il faut calculer $\displaystyle \int_{0}^5 f(x)dx$
  3. $X$ suit la loi de probabilité dont $f$ est la fonction densité.
    Calculer $p(2\leq X\leq 3)$
    Il faut calculer $\displaystyle \int_{2}^3 f(x)dx$


 
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