Exercice 1023

Déterminer la fonction densité et calculs de probabilités

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- calculs d'une intégrale
- déterminer la fonction densité et calculs de probabilités

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La fonction $f$ est définie sur $[1;5]$ par $f(x)=\dfrac{k}{x^2}$ avec $k$ réel positif.
  1. Déterminer la valeur de $k$ pour que $f$ soit une fonction densité pour une loi de probabilité sur $[1;5]$.
    Il faut calculer $\displaystyle \int_{1}^{5} f(x)dx$ en fonction de $k$ et on veut que cette intégrale soit égale à 1
    $x\in[1;5]$ et $k\geq 0$
    donc $f$ est continue et $f(x)\geq 0$ sur $[1;5]$
    $F(x)=\dfrac{-k}{x}$ est une primitive de $f$ sur $[1;5]$
    $F(1)=\dfrac{-k}{1}=-k$
    et $F(5)=\dfrac{-k}{5}$
    donc $\displaystyle \int_{1}^{5} f(x)dx=F(5)-F(1)=\dfrac{-k}{5}-(-k)=\dfrac{4k}{5}$
    $f$ est une fonction densité si $\dfrac{4k}{5}=1$ soit $k=\dfrac{5}{4}$

    donc $f$ est une fonction densité pour $k=\dfrac{5}{4}=1,25$.
  2. $X$ suit la loi de probabilité dont $f$ est la fonction densité.
    Calculer $p(X\geq 2)$
    Il faut calculer $\displaystyle \int_{2}^5 f(x)dx$
    ou bien $\displaystyle \int_{1}^2 f(x)dx$ et utiliser $p(X\geq 2)=1-p(X<2)$


 
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