Exercice 1024

Fonction densité avec une exponentielle

Contenu

- calcul d'une intégrale avec la fonction exponentielle
- calculs de probabilités avec la fonction densité

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Une entreprise fabrique des appareils de électroniques.
On note $X$ la variable aléatoire correspondant à la durée de vie, exprimée en années, d'un appareil électronique.
La loi de probabilité de $X$ suit la loi à densité définie par la fonction $f$ sur $[0;+\infty[$ avec $f(x)=\alpha e^{-\alpha x}$ où $\alpha$ est un réel.
  1. Exprimer la probabilité que l'appareil tombe en panne avant la fin de la première année en fonction de $\alpha$
    Déterminer une primitive de $f$ sur $[0;+\infty[$
    $F$ définie par $F(x)=\alpha \dfrac{e^{-\alpha x}}{-\alpha}=-e^{-\alpha x}$ est une primitive de $f$ sur $[0;+\infty[$
    En effet $F'(x)=-(-\alpha)e^{-\alpha x}=\alpha e^{\alpha x}=f(x)$
    L'appareil est en panne avant la fin de la première année correspond à $X<1$
    $p(X< 1)=p(X\leq 1)=\displaystyle \int_0^1 f(x)dx=F(1)-F(0)=-e^ {-\alpha}-(-e^0)=-e^{-\alpha}+1=1-e^{-\alpha}$

    $p(X< 1)=1-e^{-\alpha}$
  2. On a constaté que 10% des appareils tombent en panne avant la fin de la première année.
    En déduire l'expression de $f$.
    On a donc $p(X<1)=\dfrac{10}{100}=0,1$


 
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