Exercice 1025

Lectures graphiques avec une fonction densité

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- lectures graphiques de probabilités avec la fonction densité f donnée par sa courbe

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La fonction $f$ est définie sur $[0;5]$ par sa représentation graphique donnée ci-dessous:

  1. Montrer que $f$ défini une loi à densité sur $[0;5]$.
    Vérifier que $f$ est continue et $f(x) \geq 0$ sur $[0;5]$.
    Vérifier que l'aire, en unités d'aire, du domaine limité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ (axe des ordonnées) et $x=5$ est égale à une unité d'aire.
    Cette aire est la moitié de l'aire du rectangle de largeur 5 et hauteur 0,4
    $f$ est continue sur $[0;5]$ (la courbe est un trait continu)
    et la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses donc $f(x)\geq 0$
    $f$ est continue et $f(x) \geq 0$ sur $[0;5]$ donc l'aire, en unités d'aire, du domaine $D$ (en rouge sur la figure) limité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ (axe des ordonnées) et $x=5$ est égale à $\displaystyle \int_0^5 f(x)dx$.
    L'aire du domaine $D$ est la moitié de l'aire du rectangle (en bleu sur la figure ci-dessous) de longueur 5 unités et de hauteur 0,4 unité.

    $\mathcal{A}_D=\dfrac{5\times 0,4}{2}=\dfrac{2}{2}=1$
    donc $\displaystyle \int_0^5 f(x)dx=1$
    on a donc $f$ continue, $f(x) \geq 0$ sur $[0;1]$ et $\displaystyle \int_0^5 f(x)dx=1$

    donc $f$ défini une loi à densité sur $[0;5]$.
  2. La variable aléatoire continue $X$, à valeurs dans $[0;5 ]$, suit la loi de probabilité ayant pour densité la fonction $f$.
    Par lecture graphique, déterminer $p(X < 3)$ puis $p(X < 4)$.
    Il faut déterminer $\displaystyle \int_0^3 f(x)dx$ puis $\displaystyle \int_0^4 f(x)dx$ par lecture graphique.
  3. Déterminer $p(X > 4)$
    $p(X > 4)=1-p(X \leq 4)=1-p(X < 4)$


 
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