Exercice 1032

Loi uniforme: fonction densité, calculs de probabilités et espérance

Contenu

- déterminer la fonction densité d'une loi uniforme
- calcul d'une probabilité
- espérance

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$X$ suit la loi uniforme sur l'intervalle $D$.
Dans chaque cas, déterminer l'expression de la densité de probabilité $f$ puis calculer $p(X < 3)$ et l'espérance de $X$.
  1. $D=[0;4]$
    $f$ est une fonction constante positive telle que $\displaystyle \int_0^4 f(x)dx=1$
    $f$ est définie sur $[0;4]$ par $f(x)=\dfrac{1}{4-0}=\dfrac{1}{4}$
    $p(X < 3)=\dfrac{3-0}{4-0}=\dfrac{3}{4}$
    $E(X)=\dfrac{0+4}{2}=2$

    $f(x)=\dfrac{1}{4}$, $p(X < 3)=\dfrac{3}{4}$ et $E(X)=2$

    Remarque
    $F$ définie par $F(X)=\dfrac{x}{4}$ est une primitive de $f$ sur $[0;4]$.
    $\displaystyle \int_0^4 f(x)dx=F(4)-F(0)=\dfrac{4}{4}-\dfrac{0}{4}=1$
    et $p(X < 3)=\displaystyle \int_0^3 f(x)dx=F(3)-F(0)=\dfrac{3}{4}-\dfrac{0}{4}=\dfrac{3}{4}$
  2. $D=[2;10]$
    $f$ est une fonction constante positive telle que $\displaystyle \int_2^{10} f(x)dx=1$
  3. $D=[-10;10]$


 
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