Exercice 1035

Déterminer l'intervalle d'une loi uniforme

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- déterminer l'intervalle d'une loi uniforme connaissant l'espérance et une probabilité
- calcul d'une probabilité

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Le temps d'attente $t$, en minutes, au standard d'une entreprise suit une loi uniforme sur un intervalle $[a;b]$ avec $a$ et $b$ réels positifs et $a < b$.
  1. On sait que le temps d'attente moyen est de 2mn et que 60% des appels ont un temps d'attente supérieur à 1mn 45s.
    En déduire l'intervalle $[a;b]$.
    Il faut écrire deux équations d'inconnues $a$ et $b$ en utilisant l'espérance et $p(X\geq 1,75)=0,6$ car 1mn 45s=1,75mn
    1mn45s=1mn+$\dfrac{45}{60}$mn=1,75mn
    Le temps d'attente moyen est de 2mn donc $E(X)=\dfrac{a+b}{2}=2$ soit $a+b=4$
    $p(X\geq 1,75)=\dfrac{b-1,75}{b-a}=0,6$
    $\dfrac{b-1,75}{b-a}=0,6 \Longleftrightarrow b-1,75=0,6b-0,6a \Longleftrightarrow 0,6a+0,4b=1,75$
    Il faut donc résoudre un système d'équations à deux inconnues $a$ et $b$:
    $\begin{cases} a+b=4\\ 0,6a+0,4b=1,75 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} b=4-a\\ 0,6a+0,4(4-a)=1,75 \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} a+b=4\\ 0,6a+0,4b=1,75 \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} b=4-a\\ 0,6a+1,6-0,4a=1,75 \end{cases} $
    $\phantom{\begin{cases} a+b=4\\ 0,6a+0,4b=1,75 \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} b=4-a\\ 0,2a=0,15 \end{cases} $
    $\phantom{\begin{cases} a+b=4\\ 0,6a+0,4b=1,75 \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} b=4-0,75=3,25\\ a=0,75 \end{cases} $

    donc la loi uniforme est définie sur $[0,75;3,25]$.

    Remarque
    Cela signifie que le temps d'attente est compris entre 0,75mn soit 45s et 3,25mn soit 3mn 15s.
  2. Calculer la probabilité qu'une personne prise au hasard attende moins d'une minute.
    On veut calculer $p(X\leq 1)$


 
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