Exercice 1036

Déterminer l'intervalle d'une loi uniforme

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- déterminer l'intervalle d'une loi uniforme avec l'espérance et une probabilité donnée
- calculer une valeur pour avoir une probabilité donnée

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Dans un centre d'assistance téléphonique, la durée des communications $t$, en minutes, suit une loi uniforme sur un intervalle $[a;b]$ avec $a$ et $b$ réels positifs et $a < b$.
  1. Lors d'un appel, on peut entendre le message suivant: "votre temps de communication moyen est de 4mn".
    On sait aussi que 60% des appels durent moins de 4mn 30s.
    En déduire l'intervalle $[a;b]$.
    Il faut écrire deux équations d'inconnues $a$ et $b$ en utilisant l'espérance et $p(X\leq 4,5)=0,6$ car 4mn 30s=4,5mn
    4mn30s=4,5mn
    Le temps moyen des appels est de 4mn donc $E(X)=\dfrac{a+b}{2}=4$ soit $a+b=8$
    $p(X\leq 4,5)=\dfrac{4,5-a}{b-a}=0,6$
    $\dfrac{4,5-a}{b-a}=0,6 \Longleftrightarrow 4,5-a=0,6b-0,6a \Longleftrightarrow 0,4a+0,6b=4,5$
    Il faut donc résoudre un système d'équations à deux inconnues $a$ et $b$:
    $\begin{cases} a+b=8\\ 0,4a+0,6b=4,5 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} b=8-a\\ 0,4a+0,6(8-a)=4,5 \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} a+b=8\\ 0,4a+0,6b=4,5 \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} b=8-a\\ 0,4a+4,8-0,6a=4,5 \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} a+b=8\\ 0,4a+0,6b=4,5 \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} b=8-a\\ -0,2a=-0,3 \end{cases}$
    $\phantom{\begin{cases} a+b=8\\ 0,4a+0,6b=4,5 \end{cases}} \Longleftrightarrow \begin{cases} b=6,5\\ a=1,5 \end{cases}$

    donc la loi uniforme est définie sur $[1,5;6,5]$.

    Remarque
    Cela signifie que le temps d'un appel est compris entre 1,5mn soit 1mn3 0s et 6,5mn soit 6mn 30s.
  2. Déterminer le temps $t_0$ pour lequel la probabilité qu'un appel dure moins de ce temps $t_0$ est de 0,1
    Il faut écrire une équation d'inconnue $t_0$ pour que $p(t\leq t_0)=0,1$


 
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