Exercice 322
Dérivée d'une fonction composée avec la racine carrée
Dans chaque cas, donner l'ensemble $D$ sur lequel $f$ est dérivable et calculer alors $f'(x)$ sur $D$
Penser à contrôler le résultat avec la calculatrice
Penser à contrôler le résultat avec la calculatrice
- $f(x)=\sqrt{2x-4}$ définie sur $[2;+\infty[$
Composée de deux fonctions
$u$ et $v$ sont deux fonctions définies respectivement sur $I$ et $J$
telles que pour tout $x\in I$ on a $u(x)\in J$.
La composée de $u$ et $v$ notée $vou$ est la fonction définie sur $I$ qui à tout réel $x$ associe le réel $vou(x)=v(u(x))$
Schématiquement, on a:
Dérivée de la composée
Si la fonction $u$ est dérivable sur $I$ et $v$ est dérivable sur J tel que $u(x)\in J$ pour tout réel $x$ de I
alors la composée $f=vou$ de $u$ et $v$ est dérivable sur $I$ et $f'(x)=v'ou(x)\times u'(x)$On peut poser $u(x)=2x-4$ et $v(x)=\sqrt{x}$
la fonction racine carrée est définie sur $[0;+\infty[$ mais est dérivable sur $]0;+\infty[$
On pose $u(x)=2x-4$ et $v(x)=\sqrt{x}$.
On a alors $vou(x)=v(u(x))=v(2x-4)=\sqrt{2x-4}=f(x)$
$u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $v$ est dérivable sur $]0;+\infty[$.
$f$ est dérivable pour tout réel $x$ tel que $2x-4 >0$ soit $x > 2$
donc $f$ est dérivable sur $]0;+\infty[$
On a alors $u'(x)=2$ et $v'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$f'(x)=v'ou(x)\times u'(x)$
$\phantom{f'(x)}=v'(2x-4)\times 2$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{1}{2\sqrt{2x-4}}\times 2$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{1}{\sqrt{2x-4}}$
donc $f$ est dérivable sur $]2;+\infty[$ et $f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2x-4}}$
Penser à contrôler le résultat avec la calculatrice (voir fiche méthode calculatrice: contrôle du calcul de la dérivée)
Pour contrôler le résultat, saisir l'expression de $f(x)$ dans Y1 et celle obtenue pour $f'(x)$ dans Y2 puis vérifier que l'option DERIVATIVE (shift MENU (SETUP)) est activée (ON).
Les tableaux de valeurs obtenus pour Y'1 (nombres dérivés calculés par la calculatrice) et Y2(nombres dérivés obtenus avec l'expression de $f'(x)$ obtenue) doivent être identiques.
Remarque
On peut utiliser aussi la partie du cours donnant la dérivée de la composée d'une fonction affine avec une fonction $v$ soit $(v(ax+b))'=av'(ax+b)$
ou bien encore $(\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ avec $u(x)>0$ - $f(x)=\sqrt{4-x^2}$ définie sur $[-2;2]$
On peut poser $u(x)=4-x^2$ et $v(x)=\sqrt{x}$ et déterminer l'ensemble sur lequel on a $4-x^2 >0$
Aide en ligne (explications, conseils de révisions...)