Exercice 323

Dérivée de f(ax+b) (compostion avec une fonction affine)

Contenu

- dérivée de un - dérivée de racine carrée de ax+b
- contrôle des dérivées avec la calculatrice

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Dans chaque cas, donner l'ensemble $D$ sur lequel $f$ est dérivable et calculer alors $f'(x)$ sur $D$
Penser à contrôler le résultat avec la calculatrice
  1. $f(x)=(3-2x)^4$ définie sur $\mathbb{R}$
    On peut poser $u(x)=3-2x$ et $v(x)=x^4$
    On pose $u(x)=3-2x$ et $v(x)=x^4$.
    On a alors $vou(x)=v(u(x))=v(3-2x)=(3-2x)^4=f(x)$
    $u$ est une fonction affine et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $v$ est dérivable sur $\mathbb{R}$.
    donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
    On a $u'(x)=-2$ et $v'(x)=4x^3$
    $f'(x)=u'(x)v'(u(x))=-2\times 4(3-2x)^3=-8(3-2x)^3$

    donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f'(x)=-8(3-2x)^3$

    Penser à contrôler le résultat avec la calculatrice (voir fiche méthode calculatrice: contrôle du calcul de la dérivée)
    Pour contrôler le résultat, saisir l'expression de $f(x)$ dans Y1 et celle obtenue pour $f'(x)$ dans Y2 puis vérifier que l'option DERIVATIVE (shift MENU (SETUP)) est activée (ON).
    Les tableaux de valeurs obtenus pour Y'1 (nombres dérivés calculés par la calculatrice) et Y2(nombres dérivés obtenus avec l'expression de $f'(x)$ obtenue) doivent être identiques.
    Remarque
    On peut aussi utiliser $(u^n)'=nu'u^{n-1}$ et donc $f'(x)=4\times (-2)(3-2x)^3$ (ici $n=4$)
  2. $f(x)=-3(2x-4)^3$ définie sur $\mathbb{R}$
    On peut poser $u(x)=2x-4$ et $v(x)=x^3$
  3. $f(x)=\sqrt{3x-6}$ définie sur $[2;+\infty[$.
    On peut poser $u(x)=3x-6$ et $v(x)=\sqrt{x}$
    la fonction racine carrée est définie sur $[0;+\infty[$ mais est dérivable sur $]0;+\infty[$


 
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