Exercice 325

Dérivées de fonctions composées et utilisation des formules de dérivation(produit, quotient)

Contenu

- dérivée de un, dérivée de racine carrée de u
- dérivée d'un produit et d'un quotient

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Dans chaque cas, calculer $f'(x)$ sachant que $f$ est définie et dérivable sur $D$
Penser à contrôler le résultat avec la calculatrice
  1. $f(x)=\dfrac{1}{(x^2+2)^3}$ dérivable sur $D=\mathbb{R}$
    On peut poser $u(x)=(x^2+2)^3$ et on a $f(x)=\dfrac{1}{u(x)}$
    On pose $u(x)=(x^2+2)^3$ dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f(x)=\dfrac{1}{u(x)}$
    On a $u'(x)=3\times (x^2+2)'\times (x^2+2)^2=3\times 2x (x^2+2)^2=6x(x^2+2)^2$
    $f'(x)=\dfrac{-u'(x)}{(u(x))^2}$
    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{-6x(x^2+2)^2}{\left((x^2+2)^3\right)^2}$
    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{-6x(x^2+2)^2}{(x^2+2)^6}$
    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{-6x}{(x^2+2)^4}$ (rappel $\dfrac{a^n}{a^p}=a^{n-p}$)

    $f'(x)=\dfrac{-6x}{(x^2+2)^4}$

    Penser à contrôler le résultat avec la calculatrice (voir fiche méthode calculatrice: contrôle du calcul de la dérivée)
    Pour contrôler le résultat, saisir l'expression de $f(x)$ dans Y1 et celle obtenue pour $f'(x)$ dans Y2 puis vérifier que l'option DERIVATIVE (shift MENU (SETUP)) est activée (ON).
    Les tableaux de valeurs obtenus pour Y'1 (nombres dérivés calculés par la calculatrice) et Y2(nombres dérivés obtenus avec l'expression de $f'(x)$ obtenue) doivent être identiques.
  2. $f(x)=\dfrac{(x^3+1)^2}{x-1}$ dérivable sur $D=\mathbb{R}\setminus \lbrace 1 \rbrace$
    On peut poser $u(x)=(x^3+1)^2$ et $v(x)=x-1$
  3. $f(x)=\sqrt{(2x^2+3)^3}$ dérivable sur $D=\mathbb{R}$
    On peut poser $u(x)=(2x^2+3)^3$
    $f(x)=\sqrt{u(x)}$


 
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