Exercice 331

Equation réduite d'une tangente et tracé de la tangente

Contenu

- calculs de dérivées
- équation réduite d'une tangente et tracé de cette tangente

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$f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ et on donne sa représentation graphique $C_f$ dans un repère orthogonal.
Dans chaque cas, déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe au point $A$ d'abscisse $a$ et la tracer.
  1. $f(x)=\dfrac{(2x+1)^3}{9}$ et $a=1$
    On peut poser $u(x)=2x+1$ et on a $f(x)=\dfrac{1}{9}\times (u(x))^3$
    On pose $u(x)=2x+1$ dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f(x)=\dfrac{1}{9}\times (u(x))^3$
    On a $\left((2x+1)^3\right)'=3u'(x)(u(x))^2=3\times (2x+1)'\times (2x+1)^2=3\times 2(2x+1)^2=6(2x+1)^2$
    $f'(x)=\dfrac{1}{9}\times 6(2x+1)^2$
    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{2}{3}(2x+1)^2$

    $f'(x)=\dfrac{2}{3}(2x+1)^2$

    Penser à contrôler le résultat avec la calculatrice (voir fiche méthode calculatrice: contrôle du calcul de la dérivée)
    Pour contrôler le résultat, saisir l'expression de $f(x)$ dans Y1 et celle obtenue pour $f'(x)$ dans Y2 puis vérifier que l'option DERIVATIVE (shift MENU (SETUP)) est activée (ON).
    Les tableaux de valeurs obtenus pour Y'1 (nombres dérivés calculés par la calculatrice) et Y2(nombres dérivés obtenus avec l'expression de $f'(x)$ obtenue) doivent être identiques.

    $f(1)=\dfrac{(2\times 1+1)^3}{9}=\dfrac{3^3}{9}=3$
    et $f'(1)= \dfrac{2}{3}(2\times 1+1)^2=\dfrac{2}{3}\times 9=6$
    $T$: $y=f'(1)(x-1)+f(1)=6(x-1)+3=6x-3$

    La tangente $T$ à $C_f$ au point d'abscisse 1 a pour équation réduite $y=6x-3$

    Pour tracer $T$, on peut placer le point $A(1;3)$ de $C_f$ et le point $B(0;-3)$ (ordonnée à l'origine)
    ou bien placer le point $A(1;6)$ et utiliser le coefficient directeur 6.
  2. $f(x)=\sqrt{x^2+3}$ et $a=-1$
    On peut poser $u(x)=x^2+3$ et on a alors $f(x)=\sqrt{u(x)}$
  3. $f(x)=\sqrt{4+cos(x)}$ et $a=\dfrac{\pi}{2}$
    On peut poser $u(x)=4+cos(x)$ et on a $f(x)=\sqrt{u(x)}$


 
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