Exercice 335
Tangentes passant par un point donné-dérivée de √ax+b
$f$ est définie sur $]-\infty;3]$ par $f(x)=\sqrt{3-x}$ et on note $C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal.
- Déterminer l'ensemble de dérivabilité de $f$ et calculer $f'(x)$.
Dérivée de $\sqrt{u}$
Si la fonction $u$ est dérivable sur $I$ et $u(x)>0$ sur $i$ alors la fonction $\sqrt{u}$ est dérivable sur $I$
et $(\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$On peut poser $u(x)=3-x$
la fonction racine carrée est définie sur $[0;+\infty[$ mais est dérivable sur $]0;+\infty[$
On pose $u(x)=3-x$ et on a $f(x)=\sqrt{3-x}$
$f$ est la composée de $u$ dérivable sur $\mathbb{R}$ et de la fonction $x \longmapsto \sqrt{x}$ dérivable sur $]0;+\infty[$
et donc $f$ est dérivable pour tout réel $x$ de $]-\infty;3]$ tel que $u(x)>0$.
$u(x)>0 \Longleftrightarrow 3-x >0 \Longleftrightarrow 3 >x$
donc $f$ est dérivable sur $]-\infty;3[$.
On a $u'(x)=-1$
donc $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}=\dfrac{-1}{2\sqrt{3-x}}$
$f$ est dérivable sur $]-\infty;3[$ et $f'(x)=\dfrac{-1}{2\sqrt{3-x}}$ - Déterminer l'équation réduite de la tangente $T_a$ à la courbe $C_f$ au point $A$ d'abscisse $a$ avec $a\in]-\infty;3[$ en fonction de $a$.
Tangente à une courbe
Soit $f$ définie et dérivable sur un intervalle D de $\mathbb{R}$ et $a$ un réel appartenant à D
La tangente à la courbe représentative de $f$ au point A d'abscisse $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
L'équation réduite de la tangente à la courbe au point A d'abscisse $a$ est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$Il faut calculer $f(a)$ et $f'(a)$ en fonction de $a$Aide en ligne (explications, conseils de révisions...)
- Déterminer le ou les points de $C_f$ distinct(s) pour lesquels la tangente passe par le point $B(0;2)$
On pourra poser $X=\sqrt{3-a}$.On veut que les coordonnées de $B$ vérifient l'équation réduite de $T_a$
On peut poser $X^2=3-a$ pour résoudre l'équation obtenu et on a $a=3-X^2$Réussir en maths, c'est possible, rejoignez-nous!