Exercice 335

Tangentes passant par un point donné-dérivée de √ax+b

Contenu

- dérivée de √ax+b
- équation réduite d'une tangente en un point d'abscisse a
- équation menant au second degré et changement de variable

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$f$ est définie sur $]-\infty;3]$ par $f(x)=\sqrt{3-x}$ et on note $C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal.
  1. Déterminer l'ensemble de dérivabilité de $f$ et calculer $f'(x)$.
    On peut poser $u(x)=3-x$
    la fonction racine carrée est définie sur $[0;+\infty[$ mais est dérivable sur $]0;+\infty[$
    On pose $u(x)=3-x$ et on a $f(x)=\sqrt{3-x}$
    $f$ est la composée de $u$ dérivable sur $\mathbb{R}$ et de la fonction $x \longmapsto \sqrt{x}$ dérivable sur $]0;+\infty[$
    et donc $f$ est dérivable pour tout réel $x$ de $]-\infty;3]$ tel que $u(x)>0$.
    $u(x)>0 \Longleftrightarrow 3-x >0 \Longleftrightarrow 3 >x$
    donc $f$ est dérivable sur $]-\infty;3[$.
    On a $u'(x)=-1$
    donc $f'(x)=\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}=\dfrac{-1}{2\sqrt{3-x}}$

    $f$ est dérivable sur $]-\infty;3[$ et $f'(x)=\dfrac{-1}{2\sqrt{3-x}}$
  2. Déterminer l'équation réduite de la tangente $T_a$ à la courbe $C_f$ au point $A$ d'abscisse $a$ avec $a\in]-\infty;3[$ en fonction de $a$.
    Il faut calculer $f(a)$ et $f'(a)$ en fonction de $a$
  3. Déterminer le ou les points de $C_f$ distinct(s) pour lesquels la tangente passe par le point $B(0;2)$
    On pourra poser $X=\sqrt{3-a}$.
    On veut que les coordonnées de $B$ vérifient l'équation réduite de $T_a$
    On peut poser $X^2=3-a$ pour résoudre l'équation obtenu et on a $a=3-X^2$


 
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