Exercice 336

Déterminer l'équation d'une tangente

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Rappels de première:
- calcul d'une dérivée
- déterminer l'équation réduite d'une tangente

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La fonction $f$ est définie sur D$=]-2;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{4}{x+2}$ et on note $C_{f}$ sa courbe représentative.
  1. Déterminer l'équation réduite de la tangente à $C_{f}$ au point d'abscisse 2.
    Calculer $f'(x)$ puis $f'(2)$ en fonction de $a$
    Calculer $f(2)$
    La tangente à la courbe au point d'abscisse 2 a pour coefficient directeur $f'(2)$ et passe par le point de coordonnées $(2;f(2))$
    On pose $v(x)=x+2$ $v$ est dérivable D et $u(x)\neq 0$ sur D
    donc $f(x)=4\times \dfrac{1}{v(x)}$ est dérivable sur D
    On a $v'(x)=1$
    $f'(x)=4\times \dfrac{-1}{(x+2)^2}$ (formule $(\dfrac{1}{v})'=\dfrac{-v'}{v²}$)
    donc $f'(x)=\dfrac{-4}{(x+2)^2}$

    $f'(2)=\dfrac{-4}{(2+2)^2}=\dfrac{-4}{16}=\dfrac{-1}{4}$ et $f(2)=\dfrac{4}{2+2}=1$
    L'équation réduite de la tangente T au point d'abscisse 2 est donc:
    $y=f'(2)(x-2)+f(2)=\dfrac{-1}{4}(x-2)+1=\dfrac{-1}{4}x+\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{-1}{4}x+\dfrac{3}{2}$

    T: $y=\dfrac{-1}{4}x+\dfrac{3}{2}$
  2. Déterminer les coordonnées du point C tel que la tangente en C à la courbe $C_{f}$ soit parallèle à la droite d'équation $y=-x+3$
    Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur
    Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse $x$ est $f'(x)$
  3. Contrôler ces résultats en construisant la figure avec le logiciel GEOGEBRA
    Tracer la courbe repr´esentative de la fonction $f$ sur $]-2;10]$ par exemple
    Syntaxe: Fonction[4/(x+2),-2,10]
    Tracer les tangentes à la courbe au point d'abscisse 2 puis au point d'abscisse 0
    syntaxe: Tangente[point,courbe]
    Vérifier que l'équation donnée par le logiciel est cohérente avec les résultats donnés


 
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