Exercice 341

Variations et limites d'un polynôme de degré 3

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- limites d'une fonction polynôme de degré 3
- dérivée et variations

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La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=-x^3+2x^2-x-5$.
  1. Déterminer les limites en $-\infty$ et $+\infty$.
    Il y a un cas d'indétermination donc il faut factoriser par le terme de plus haut degré soit ici $x^3$.
    Pour tout réel $x\neq 0$, on a:
    $f(x)=-x^3+2x^2-x-5=x^3\left(-1+\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{5}{x^3}\right)$ (terme de plus haut degré en facteur)
    Limite en $+\infty$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{2}{x}=0$, $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}-\dfrac{1}{x^2}=0$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}-\dfrac{5}{x^3}=0$
    donc par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}-1+\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{5}{x^3}=-1$
    et par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x^3=+\infty$
    donc par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)=-\infty$

    Limite en $-\infty$
    De même, par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}-1+\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}-\dfrac{5}{x^3}=-1$
    et par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}x^3=-\infty$
    donc par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)=+\infty$


    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=-\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)=+\infty$
  2. Calculer $f'(x)$, étudier son signe.
    La dérivée est un polynôme du second degré et il faut donc chercher les racines de $f'(x)$ pour étudier son signe.
  3. Dresser le tableau de variations de $f$.


 
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