Exercice 342

Limites et variations de un

Contenu

- limites par composition
- dérivée de un
- tableau de variation

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La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}\setminus \lbrace -4 \rbrace$ par $f(x)=\dfrac{2x-3}{x+4}$.
  1. Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
    En $-\infty$ et $+\infty$, il y a un cas d'indétermination donc il faut factoriser par le terme de plus haut degré au numérateur et au dénominateur soit $x$ au numérateur et $x$ au dénominateur.
    Pour tout réel $x\neq 0$, on a:
    $f(x)=\dfrac{x\left(2-\dfrac{3}{x}\right)}{x\left(1+\dfrac{4}{x}\right)}$ (termes de plus haut degré en facteur)
    $\phantom{f(x)}=\dfrac{2-\dfrac{3}{x}}{1+\dfrac{4}{x}}$
    Limite en $-\infty$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}2-\dfrac{3}{x}=2$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}1+\dfrac{4}{x}=1$

    donc par quotient $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)=2$


    Limite en $+\infty$

    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}2-\dfrac{3}{x}=2$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}1+\dfrac{4}{x}=1$

    donc par quotient $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=2$

  2. Déterminer les limites de $f$ en $x=-4$.
    Il faut chercher les limites du numérateur et du dénominateur
    Distinguer les cas $x > -4$ et $x < -4$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -4}2x-3=2\times (-4)-3=-11$
    Limite en $-4^-$ (cas $x < -4 $)
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -4^-}x+4=0^-$ ($x+4 < 0$ si $x< -4$)

    et par quotient $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -4^-}f(x)=+\infty$



    Limite en $-4^+$ (cas $x > -4 $)
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -4^+}x+4=0^+$ ($x+4 > 0$ si $x> -4$)

    et par quotient $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -4^+}f(x)=-\infty$

  3. Préciser les asymptotes à la courbe représentative $C_f$ de $f$ dans un repère orthogonal.
  4. Justifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}\setminus \lbrace -4 \rbrace$, calculer $f'(x)$ puis étudier son signe.
    On pose $u(x)=2x-3$ et $v(x)=x+4$
    $(x+4)^2$ est strictement positif sur $[0;10]$
  5. Dresser le tableau de variations de $f$.
  6. Déterminer l'équation réduite de la tangente $T$ à la courbe $C_f$ en $x=7$.
    Il faut calculer $f(7)$ et $f'(7)$
  7. Tracer $C_F$, $T$ et les asymptotes dans le repère ci-dessous.
    On doit tracer les droites d'équations $x=-4$, $y=2$ et la droite $T$.
    Utiliser le MENU TABLE de la calculatrice pourplacer suffisamment de points de $C_f$


 
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