Exercice 344

Etude des variations et limites d'une foncton rationnelle

Contenu

- limites aux bornes de l'ensemble de définition
- dérivée et tableau de variation
- équation d'une tangente
- tracé de la courbe, ses asymptote et la tangente

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On considère la fonction $f$ définie sur $D_f=]-4;4[$ par $f(x)=\frac{2x+6}{x^2-16}$ et on note $C_f$ sa représentation graphique dans un repère orthogonal.
  1. Déterminer les limites de $f$ aux bornes de $D_f$ et en déduire les asymptotes à la courbe $C_f$.

    On pose $u(x)=2x+6$ et $v(x)=x^2-16$
    Limite en $-4$ ($x> -4$)
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -4^+}2x+6=2\times (-4)+6=-2$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -4^+}x^2-16=0^-$ car pour $x\in]-4;4[$ on a $x^2<16$

    et par quotient $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -4^+}f(x)=+\infty$

    et $C_f$ admet la droite d'équation $x=-4$ pour asymptote.
    Limite en $4$ ($x<4$)
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 4^-}2x+6=2\times 4+6=14$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 4^-}x^2-16=0^-$ car pour $x\in]-4;4[$ on a $x^2<16$

    et par quotient $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 4^-}f(x)=-\infty$

    et $C_f$ admet la droite d'équation $x=4$ pour asymptote.
  2. Etudier les variations de $f$ puis dresser son tableau de variations.
    On pose $u(x)=2x+6$ et $v(x)=x^2-16$
    Il faut étudier le signe de $f'(x)$ pour détreminer le sens de variation de $f$
  3. Déterminer l'équation de la tangente au(x) point(s) d'intersection(s) de $C_f$ et de l'axe des abscisses.
    Il faut résoudre l'équation $f(x)=0$
  4. Tracer $C_f$, les asymptotes et la tangente au point d'intersection de $C_f$ et de l'axe des abscisses.


 
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