Exercice 345
Etude des variations et limites d'une foncton rationnelle-utilisation d'une fonction auxiliaire
La fonction $f$ est définie sur $]-4;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x^3-2}{x+4}$
- Justifier que $f$ est dérivable sur $D_f$ et calculer $f'(x)$
Formules de dérivations
Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle D de $\mathbb{R}$
et $k$ un réel quelconque alors les fonctions ci-dessous sont dérivables sur D et on a:
On pose $u(x)=x^3-2$ et $v(x)=x+4$
Si $u$ et $v$ sont dérivables sur un intervalle I et $v(x)\neq 0$ alors $\dfrac{u}{v}$ est dérivable sur IOn pose $u(x)=x^3-2$ et $v(x)=x+4$
$u$ (fonction polynôme de degré 3) est dérivable sur $\mathbb{R}$ donc sur $D_f$
$v$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ donc sur $D_f$ et pour tout $x\in D_f$, on a $x+4\neq 0$
donc le quotient $f$ est dérivable sur $D_f$
$u(x)=x^3-2$ et $v(x)=x+4$
donc $u'(x)=3x^2$ et $v'(x)=1$
$f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{3x^2(x+4)-(x^3-2)\times 1}{(x+4)^2}$
$\phantom{f'(x)}=\dfrac{3x^3+12x^2-x^3+2}{(x+4)^2}$
$f'(x)=\dfrac{2x^3+12x^2+2}{(x+4)^2}$ - On pose $g$ définie et dérivable sur $]-4;+\infty[$ par $g(x)=2x^3+12x^2+2$
Calculer $g'(x)$ et dresser le tableau de variation de $g$ (on ne demande pas les limites de $g$)Pour déterminer les variations de $g$, il faut étudier le signe de $g'(x)$ (polynôme de degré 2)
Il faut donc chercher les racines de $g'(x)$ afin de dresser un tableau de signe de $g'(x)$$g'(x)=2\times 3x^2+12\times 2x+0=6x^2+24x=6x(x+4)$
$6x(x+4)=0 \Longleftrightarrow x=0$ ou $x=-4$
Les racines de $6x^2+24$ sont $x_1=0$ et $x_2=-4$
$6x^2+24x$ est du signe de $a=6$ coefficient de $x^2$ à "l'extérieur" des racines
donc $g'(x) >0 $ sur $]0;+\infty[$
On a donc
avec $g(0)=2\times 0^3+12\times 0^2+2=2$
Ne pas confondre $g(0)$ et $g'(0)$
Remarque Courbe représentative de la fonction $g$ donnée à titre indicatif.
On peut aussi tracer la courbe sur la calculatrice (MENU GRAPH) pour contrôler les résultats du tableau de variations - Déterminer les limites de $f$ aux bornes de $D_f$.
Limite avec une fonction rationnelle en un point où elle n'est pas définie
Pour déterminer la limite d'une fonction rationnelle en $\alpha$, $\alpha$ étant une valeur annulant le dénominateur, il faut:
- distinguer la limite à gauche et la limite à droite en $\alpha$ ($x \longrightarrow \alpha^+$ et $x \longrightarrow \alpha^-$)
- déterminer la limite du numérateur
- déterminer la limite du dénominateur(limite nulle) et le signe de celui-ci quand $x \longrightarrow \alpha$Il faut chercher les limites du numérateur et du dénominateur quand $x \longrightarrow -4^+$Aide en ligne (explications, conseils de révisions...)
- En déduire le signe de $g(x)$ puis dresser le tableau de variation de $f$
Pour déterminer le signe de $g(x)$, on peut utiliser les variations de $g$ et le fait que $g(1)=2$
Réussir en maths, c'est possible, rejoignez-nous!
- Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse $-2$
Tangente à une courbe
Soit $f$ définie et dérivable sur un intervalle D de $\mathbb{R}$ et $a$ un réel appartenant à D
La tangente à la courbe représentative de $f$ au point A d'abscisse $a$ a pour coefficient directeur $f'(a)$
L'équation réduite de la tangente à la courbe au point A d'abscisse $a$ est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$Il faut calculer le coefficient directeur de cette tangente soit $f'(-2)$ puis les coordonnées du point de contact avec la courbe $(-2;f(-2))$Besoin d'aide, explication d'une notion, devoir ou exercice à faire...:AIDE EN LIGNE
- Tracer $C_f$ et T dans un repère orthogonal d'unités 2cm sur l'axe des abscisses et 2cm pour 5 unités sur l'axe des ordonnées.
Pour tracer la courbe, il faut dresser un tableau de valeur sur la calculatrice (MENU TABL) puis saisir la fonction $f$.
Penser à paramétrer le tableau de valeurs avec SET et choisir par exemple XSTART=-4, XEND=10 et PITCH=0,5
ne pas oublier d'écrire le numérateur et le dénominateur entre parenthèses.
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