Exercice 345

Etude des variations et limites d'une foncton rationnelle-utilisation d'une fonction auxiliaire

Contenu

- dérivée et variations d'une fonction polynôme de degré
- limites, dérivée et variations d'une fonction rationnelle
- équation d'une tangente
- représentation graphique et tracé de la tangente et de l'asypmtote

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La fonction $f$ est définie sur $]-4;+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{x^3-2}{x+4}$
  1. Justifier que $f$ est dérivable sur $D_f$ et calculer $f'(x)$
    On pose $u(x)=x^3-2$ et $v(x)=x+4$
    Si $u$ et $v$ sont dérivables sur un intervalle I et $v(x)\neq 0$ alors $\dfrac{u}{v}$ est dérivable sur I
    On pose $u(x)=x^3-2$ et $v(x)=x+4$
    $u$ (fonction polynôme de degré 3) est dérivable sur $\mathbb{R}$ donc sur $D_f$
    $v$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ donc sur $D_f$ et pour tout $x\in D_f$, on a $x+4\neq 0$

    donc le quotient $f$ est dérivable sur $D_f$

    $u(x)=x^3-2$ et $v(x)=x+4$
    donc $u'(x)=3x^2$ et $v'(x)=1$
    $f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{3x^2(x+4)-(x^3-2)\times 1}{(x+4)^2}$
    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{3x^3+12x^2-x^3+2}{(x+4)^2}$

    $f'(x)=\dfrac{2x^3+12x^2+2}{(x+4)^2}$
  2. On pose $g$ définie et dérivable sur $]-4;+\infty[$ par $g(x)=2x^3+12x^2+2$
    Calculer $g'(x)$ et dresser le tableau de variation de $g$ (on ne demande pas les limites de $g$)
    Pour déterminer les variations de $g$, il faut étudier le signe de $g'(x)$ (polynôme de degré 2)
    Il faut donc chercher les racines de $g'(x)$ afin de dresser un tableau de signe de $g'(x)$
    $g'(x)=2\times 3x^2+12\times 2x+0=6x^2+24x=6x(x+4)$
    $6x(x+4)=0 \Longleftrightarrow x=0$ ou $x=-4$
    Les racines de $6x^2+24$ sont $x_1=0$ et $x_2=-4$
    $6x^2+24x$ est du signe de $a=6$ coefficient de $x^2$ à "l'extérieur" des racines
    donc $g'(x) >0 $ sur $]0;+\infty[$
    On a donc

    avec $g(0)=2\times 0^3+12\times 0^2+2=2$
    Ne pas confondre $g(0)$ et $g'(0)$
    Remarque Courbe représentative de la fonction $g$ donnée à titre indicatif.

    On peut aussi tracer la courbe sur la calculatrice (MENU GRAPH) pour contrôler les résultats du tableau de variations
  3. Déterminer les limites de $f$ aux bornes de $D_f$.
    Il faut chercher les limites du numérateur et du dénominateur quand $x \longrightarrow -4^+$
  4. En déduire le signe de $g(x)$ puis dresser le tableau de variation de $f$
    Pour déterminer le signe de $g(x)$, on peut utiliser les variations de $g$ et le fait que $g(1)=2$
  5. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse $-2$
    Il faut calculer le coefficient directeur de cette tangente soit $f'(-2)$ puis les coordonnées du point de contact avec la courbe $(-2;f(-2))$
  6. Tracer $C_f$ et T dans un repère orthogonal d'unités 2cm sur l'axe des abscisses et 2cm pour 5 unités sur l'axe des ordonnées.
    Pour tracer la courbe, il faut dresser un tableau de valeur sur la calculatrice (MENU TABL) puis saisir la fonction $f$.
    Penser à paramétrer le tableau de valeurs avec SET et choisir par exemple XSTART=-4, XEND=10 et PITCH=0,5
    ne pas oublier d'écrire le numérateur et le dénominateur entre parenthèses.


 
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