Exercice 346

Etude des variations d'une fonction polynôme de degré 4-utilisation d'une fonction auxiliaire

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- limites d'une fonction polynôme
- étude des variations d'une fonction auxiliaire

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La fonction $f$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x^4-4x^3+3x^2-6x+1$
  1. Déterminer les limites de $f$ en $-\infty$ et $+\infty$.
    Il faut factoriser le terme de plus haut degré, ici $x^4$
    Pour tout réel $x \neq 0$, on a:
    $f(x)=x^4\left(3-\dfrac{4}{x}+\dfrac{3}{x^2}-\dfrac{6}{x^3}+\dfrac{1}{x^4}\right)$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}x^4=+\infty$
    et par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}3-\dfrac{4}{x}+\dfrac{3}{x^2}-\dfrac{6}{x^3}+\dfrac{1}{x^4}=3$

    donc par produit $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$

    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}x^4=+\infty$
    et par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}3-\dfrac{4}{x}+\dfrac{3}{x^2}-\dfrac{6}{x^3}+\dfrac{1}{x^4}=3$

    donc par produit $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)=+\infty$
  2. Calculer $f'(x)$
    $f'(x)=3\times 4x^3-4\times 3x^2+3\times 2x-6+0=12x^3-12x^2+6x-6$

    $f'(x)=12x^3-12x^2+6x-6$
  3. La fonction $g$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x)=2x^3-2x^2+x-1$.
    Calculer $g'(x)$ et dresser le tableau de variation de $g$ (on ne demande pas les limites de $g$ en $+\infty$ et $-\infty$).
    Pour déterminer les variations de $g$, il faut étudier le signe de $f'(x)$ (polynôme de degré 2)
    Il faut donc chercher les racines de $f'(x)$ afin de dresser un tableau de signe de $f'(x)$
  4. Calculer $g(1)$ et en déduire le signe de $g(x)$.
    Pour déterminer le signe de $g$, on peut utiliser les variations de $g$ et le fait que $g(1)=0$
  5. En déduire le tableau de variation de $f$.
    $f'(x)$ peut s'exprimer en fonction de $g(x)$


 
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