Exercice 348

Limites et variations d'une fonction avec une racine carrée

Contenu

- limites en 0 et +OO
- dérivée d'un quotient avec une racine carrée
- tableau de variation

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La fonction $f$ est définie et dérivable sur $]0;+\infty$ par $f(x)=\dfrac{2x+1}{\sqrt{x}}$
  1. Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition
    Il faut chercher les limites de $2x+1$ et de $\sqrt{x}$ en $0^+$
    en $+\infty$, il s'agit d'un cas d'indétermination et il faut transformer l'expression de $f$ en écrivant $f(x)$ sans racine carrée au dénominateur
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} 2x+1=2\times 0+1=1$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} \sqrt{x}=0^+$

    donc par quotient $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} f(x)=+\infty$

    Remarque
    en $+\infty$ on a $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} 2x+1=+\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x}=+\infty$ donc la limite du quotient est indéterminée.

    $f(x)=\dfrac{(2x+1)\sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{x}}=\dfrac{(2x+1)\sqrt{x}}{x}=\left(2+\dfrac{1}{x}\right)\sqrt{x}$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} 2+\dfrac{1}{x}=2$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} \sqrt{x}=+\infty$

    donc par produit $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=+\infty$
  2. Dresser le tableau de variation de $f$.
    On pose $u(x)=2x+1$ et $v(x)=\sqrt{x}$


 
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