Exercice 349

Etude des variations d'une fonction avec cos et sin

Contenu

- calcul de la dérivée
- signe de la dérivée et variations
- étude de la parité et de la périodicité

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La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=cos(x)sin(x)$.
  1. Justifier que $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et montrer que $f'(x)=cos(2x)$.
    On peut poser $u(x)=cos(x)$ et $v(x)=sin(x)$
    On pose $u(x)=cos(x)$ et $v(x)=sin(x)$ dérivables sur $\mathbb{R}$
    donc $f=uv$ est dérivable sur $\mathbb{R}$
    On a alors $u'(x)=-sin(x)$ et $v(x)=cos(x)$
    $f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
    $\phantom{f'(x)}=-sin(x)sin(x)+cos(x)cos(x)$
    $\phantom{f'(x)}=-sin^2(x)sin(x)+cos^2(x)$
    $\phantom{f'(x)}=-sin^2(x)+1-sin^2(x)$ car $cos^2(x)+sin^2(x)=1$
    $\phantom{f'(x)}=1-2sin^2(x)$
    $\phantom{f'(x)}=cos(2x)$

    $f'(x)=cos(2x)$.
  2. En déduire le tableau de variation de $f$ sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$.
    Il faut étudier le signe de $cos(2x)$
    On peut résoudre l'inéquation $cos(2x)>0$ sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$.
    Le cosinus est positif sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$ (on a $x\geq 0$)
    Sur $\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]$, on a:
    $cos(2x)>0 \Longleftrightarrow 0\leq 2x < \dfrac{\pi}{2}$
    $\phantom{cos(2x)>0} \Longleftrightarrow 0\leq x < \dfrac{\pi}{4}$
    donc $f'(x)>0 $ sur $\left[0;\dfrac{\pi}{4}\right]$

    $f(0)=cos(0)sin(0)=1\times 0=0$
    $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\times \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$
    $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0\times 1=0$
  3. Montrer que la fonction $f$ est impaire, c'est à dire que la courbe représentative de $f$ admet pour centre de symétrie l'origine du repère
    Il faut montrer que deux points de la courbe d'abscisses opposées ont des ordonnées opposées.
    donc que $f(-x)=-f(x)$ pour tout réel $x$.
  4. Montrer que la fonction $f$ est périodique de période $\pi$.
    Il faut montrer que $f(x+\pi)=f(x)$
  5. En déduire le tableau de variation de $f$ sur $\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]$.
    Il faut utiliser le centre de symétrie de la courbe.


 
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