Exercice 354

Exemples de fonctions définies par morceaux

Contenu

- exemples de fonctions définies sur IR par morceaux continues et non continues
- limite à droite et limite à gauche

Infos sur l'exercice

liens/options

  • afficher seulement énoncé
  • Afficher le PDF
  • télécharger le PDF
  • ex semblables
  • Documents associés
  • questions
Dans chacun des cas, déterminer si $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
  1. $f(x)=2x-3$ si $x\leq 2$ et $f(x)=-3x+7$ si $x>2$
    Une fonction affine est continue sur $\mathbb{R}$
    Il faut donc chercher $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}f(x)$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)$
    $f$ est continue sur $]-\infty;2[$ et continue sur $]2;+\infty[$ (fonctions affines)
    Etude de la continuité en $x=2$
    $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}f(x)=2\times 2-3=1$
    et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)=-3\times 2+7=1$
    donc $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^-}f(x)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow 2^+}f(x)$

    donc $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

    Représentation graphique de $f$

    Remarque
    $f$ est une fonction affine par morceaux.
  2. $f(x)=x^2$ si $x\leq 1$ et $f(x)=2x-3$ si $x>1$
    Une fonction affine est continue sur $\mathbb{R}$
    La fonction carré est continue sur $\mathbb{R}$
    Il faut donc chercher $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^-}f(x)$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 1^+}f(x)$
  3. $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-3}$ si $x< -1$ et $f(x)=x^2-1$ si $x\geq -1$
    Une fonction affine est continue sur $\mathbb{R}$ et une fonction rationnelle est continue sur son ensemble de définition.
    Il faut donc chercher $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^-}f(x)$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -1^+}f(x)$


 
Haut de page