Exercice 356

Lecture d'un tableau de variation et théorème de la valeur intermédiaire

Contenu

- nombre de solutions d'une équation avec une fonction non monotone
- utilisation du théorème des valeurs intermédiaires pour déterminer nombre de solutions d'une équation

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On donne ci-dessous le tableau de variation de $f$ définie sur $[-2;2]$:

On veut déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0,1$
  1. Quel est le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0,1$ sur $[-2;0]$?
    On utilise la continuité de $f$ sur $[-2;0]$, les valeurs de $f(-2)$ et $f(0)$ et le sens de variation de $f$.
    On a $f(-2)=0$ et $f(0)=1$
    Sur $[-2;0]$, la fonction $f$ est continue et $0,1$ est compris entre $f(-2)$ et $f(0)$
    donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation $f(x)=0,1$ admet au moins une solution sur $[-2;0]$.
    De plus $f$ est strictement croissante sur $[-2;0]$

    donc l'équation $f(x)=0,1$ admet une seule solution sur $[-2;0]$
  2. Quel est le nombre de solutions de l'équation $f(x)=0,1$ sur $[0;2]$?
    On peut déterminer le minimum de $f$ sur $[0;2]$
  3. Donner un encadrement la solution de l'équation $f(x)=0,1$ entre deux entiers consécutifs.
    On veut déterminer deux entiers $a$ et $b$ de $[-2;0]$ tels que $0,1$ soit compris entre $f(a)$ et $f(b)$


 
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