Exercice 357

Théorème des valeurs intermédiaires

Contenu

- montrer qu'une équation admet au moins une solution (théorème des valeurs intermédiaires)
- dérivée et étude des variations
- nombre de solutions de l'équation

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Montrer que l'équation proposée admet au moins une solution sur l'ensemble $D$ puis le nombre de solutions de cette équation.
  1. $\dfrac{x^3}{x+1}=4$ sur $D=[0;5]$
    Il faut calculer $f(0)$ et $f(5)$.
    Il faut étudier les variations de $f$ définie par $f(x)=\dfrac{x^3}{x+1}$ sur $[0;5]$
    On pose $f(x)=\dfrac{x^3}{x+1}$ définie sur $D=[0;5]$ et on veut donc résoudre l'équation $f(x)=4$.
    $f$ est définie et continue sur $D$ (fonction rationnelle).
    De plus $f(0)=0$ et $f(5)=\dfrac{5^3}{5+1}=\dfrac{125}{6}$

    $f$ est continue sur $D$ et $4$ est compris entre $f(0)$ et $f(5)$
    donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires l'équation $f(x)=4$ admet au moins une solution sur $D$.

    L'équation $\dfrac{x^3}{x+1}=4$ admet au moins une solution sur $D=[0;5]$.


    On pose $u(x)=x^3$ et $v(x)=x+1$ dérivables sur $\mathbb{R}$ donc sur $D$.
    $f$ est donc dérivable sur $D$ (quotient de deux fonctions dérivables sur $D$ avec $v(x)\neq 0$).
    On a $u'(x)=3x^2$ et $v'(x)=1$
    $f'(x)=\dfrac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$
    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{3x^2(x+1)-x^3\times 1}{( x+1 )^2}$
    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{3x^3+3x^2-x^3\times 1}{( x+1 )^2}$
    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{2x^3+3x^2}{( x+1 )^2}$
    $\phantom{f'(x)}=\dfrac{x^2(2x+3)}{( x+1 )^2}$
    On a $x\in [0;5]$ donc $2x+3>0$ et donc $f'(x)>0$
    donc $f$ est strictement croissante sur $D$.

    donc l'équation $f(x)=4$ admet une unique solution sur $D$.
  2. $2\sqrt{1-x^4}=1$ sur $[0;1]$.
    Il faut étudier les variations de $f$ définie par $f(x)=2\sqrt{1-x^4}$ sur $[-1;1]$


 
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