Exercice 359

Théorème des valeurs intermédiaires avec les fonctions cos et sin

Contenu

- montrer qu'une équation admet au moins une solution
- dérivées avec les fonctions cos et sin

Infos sur l'exercice

liens/options

  • afficher seulement énoncé
  • Afficher le PDF
  • télécharger le PDF
  • ex semblables
  • Documents associés
  • questions
  1. Montrer que l'équation $xsin(x)=\dfrac{1}{2}$ admet au moins une solution sur $[0;\dfrac{\pi}{2}]$.
    Calculer ensuite la dérivée de la fonction $f$ définie sur $[0;\dfrac{\pi}{2}]$ par $f(x)=xsin(x)$ et en déduire le nombre de solutions de cette équation sur $[0;\dfrac{\pi}{2}]$.
    En posant $f(x)=xsin(x)$ sur $[0;\dfrac{\pi}{2}]$, on peut calculer $f(0)$ et $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$
    Les fonctions $u$ et $v$ définies par $u(x)=sin(x)$ et $v(x)=x$ sont dérivables et continues sur $[0;\pi]$
    donc $f=u\times v$ est continue sur $[0;\pi]$.
    On a $f(0)=0\times sin(0)=0$ et $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{\pi}{2}sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{\pi}{2}$
    $f$ est continue sur $[0;\dfrac{\pi}{2}]$ et $\dfrac{1}{2}$ est compris entre $f(0)$ et $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$
    donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires

    l'équation $f(x)=\dfrac{1}{2}$ admet au moins un solution sur $[0;\dfrac{\pi}{2}]$.


    $f$ est le produit de deux fonctions dérivables sur $[0;\dfrac{\pi}{2}]$ donc est dérivable sur $[0;\dfrac{\pi}{2}]$.
    $u'(x)=1$ et $v'(x)=cos(x)$
    $f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$
    $\phantom{f'(x)}=1sin(x)+xcos(x)$
    sur $[0;\dfrac{\pi}{2}]$, on a $0\leq sin(x)\leq 1$, $0\leq cos(x)\leq 1$ donc $xcos(x)\geq 0$
    donc $f'(x)\geq 0$ soit $f$ croissante.

    donc l'équation $f(x)=\dfrac{1}{2}$ admet une seule solution sur $[0;\dfrac{\pi}{2}]$.
  2. Montrer que l'équation $cos\left(3x+\dfrac{\pi}{4}\right)=0$ admet au moins une solution sur $[0;\pi]$.
    On peut calculer $f(0)$ et $f(\pi)$


 
Haut de page