Exercice 362

Encadrement de la solution d'une équation par dichotomie

Contenu

- solutions d'une équation de degré 3
- théorème des valeurs intermédiaires et unicité de la solution
- lecture d'une algorithme et utilisation de la boucle POUR
- modification d'une algorithme avec une boucle TANT QUE

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On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^3-x^2+6x-5$.
  1. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique sur $\mathbb{R}$
    Il faut étudier les variations de $f$ et ses limites ou bien trouver deux valeurs $a$ et $b$ réelles telles que 0 soit compris entre $f(a)$ et $f(b)$
    $f$ est une fonction polynôme de degré 3 donc continue sur $\mathbb{R}$.
    Pour tout réel $x\neq 0$ on a:
    $f(x)=x^3\left(1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{6}{x^2}-\dfrac{5}{x^3}\right)$
    Par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} 1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{6}{x^2}-\dfrac{5}{x^3}=1$
    et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} x^3=+\infty$
    donc par produit $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)=+\infty$

    Par somme $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} 1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{6}{x^2}-\dfrac{5}{x^3}=1$
    et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} x^3=-\infty$
    donc par produit $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)=-\infty$

    $f$ est donc continue et 0 est compris entre $\displaystyle \lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)$ et $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)$
    donc avec le théorème des valeurs intermédiaires l'équation $f(x)=0$ admet au moins une solution sur $\mathbb{R}$.
    Remarque
    On peut aussi utiliser par exemple $f(0)=-5$ et $f(1)=1-1+6-5=1$ et on a alors 0 compris entre $f(0)$ et $f(1)$.

    $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ car $f$ est une fonction polynôme de degré 3(somme de fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$)
    $f'(x)=3x^2-2x+6$
    $\Delta=b^2-4ac=(-2)^2-4\times 3\times 6=-68$
    $\Delta < 0$ donc il n'y a aucune racine et $f'(x)$ est donc du signe de $a=3$ coefficient de $x^2$
    donc $f'(x)> 0$ et $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
    On a donc $f$ strictement croissante sur $\mathbb{R}$

    donc l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $\mathbb{R}$.
  2. On donne l'algorithme ci-dessous:

    Compléter le tableau ci-dessous(zones grises) si on saisit $a=0$ et $a=1$ et donner le résultat affiché.
  3. Modifier cet algorithme pour qu'il donne un encadrement de la solution d'amplitude inférieure à 0,001.
    On peut modifier la boucle POUR avec une boucle TANT QUE sachant que si $b-a > 0,001$, on doit continuer à affiner l'encadrement de la solution.


 
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